Οι πιο σύντομες εργασίες στην ιστορία των Μαθηματικών!

Μπορεί μια επιστημονική εργασία να αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις; Ή ακόμη και από δύο λέξεις; Κι όμως, στην ιστορία των Μαθηματικών υπάρχουν δημοσιεύσεις που καταλαμβάνουν ελάχιστο χώρο στο χαρτί, αλλά το περιεχόμενό τους είναι πολύ σημαντικότερο από την έκτασή τους.

Μια τέτοια εργασία κατάφερε το 1966 να καταρρίψει μια εικασία που είχε διατυπώσει ο μεγάλος μαθηματικός Leonhard Euler σχεδόν 200 χρόνια νωρίτερα!

1. Δύο προτάσεις που κατέρριψαν μια εικασία 200 ετών (1966)

Το 1966, οι μαθηματικοί L. J. Lander και T. R. Parkin δημοσίευσαν στο περιοδικό Bulletin of the AmericanMathematical Society μια εργασία με τίτλο “Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers” («Αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler για αθροίσματα ομοίων δυνάμεων»). Η δημοσίευσή τους καταλαμβάνει ένα μικρό μόνο μέρος μιας σελίδας και το κυρίως κείμενό της αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις και μία βιβλιογραφική αναφορά!

Τι ακριβώς είχαν ανακαλύψει, ώστε να μη χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις;

Η εικασία του Euler

Το 1769, ο Leonhard Euler διατύπωσε μια εικασία που αποτελούσε γενίκευση του περίφημου Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Σύμφωνα με το τελευταίο, για κάθε φυσικό αριθμό $n>2$, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$ που να ικανοποιούν την εξίσωση:

$$a^n+b^n=c^n$$

Με άλλα λόγια, το άθροισμα δύο κύβων θετικών ακεραίων δεν μπορεί να ισούται με έναν τρίτο κύβο, το άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων δεν μπορεί να ισούται με μια άλλη τέταρτη δύναμη κ.ο.κ.

Ο Euler προχώρησε ένα βήμα παραπέρα και διατύπωσε την ακόλουθη εικασία:

Για να εκφραστεί μια $n$-οστή δύναμη θετικού ακεραίου ως άθροισμα άλλων $n$-οστών δυνάμεων θετικών ακεραίων, απαιτούνται τουλάχιστον $n$ προσθετέοι, για $n>2$.

Για παράδειγμα, σύμφωνα με την εικασία:

• Για $n=3$, απαιτούνται τουλάχιστον τρεις κύβοι για να προκύψει ένας άλλος κύβος.
• Για $n=4$, απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις τέταρτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη τέταρτη δύναμη.
• Για $n=5$, απαιτούνται τουλάχιστον πέντε πέμπτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη πέμπτη δύναμη.

Η εικασία φαινόταν εύλογη. Άλλωστε, δεν είχε βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει.

Το αντιπαράδειγμα που ανέτρεψε την εικασία

Το 1966, σχεδόν δύο αιώνες αργότερα, οι Lander και Parkin χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή CDC 6600 για να αναζητήσουν αριθμητικές λύσεις.

Και ανακάλυψαν την ακόλουθη ισότητα:

$$\boxed{27^5+84^5+110^5+133^5=144^5}$$

Δηλαδή, το άθροισμα τεσσάρων πέμπτων δυνάμεων ισούται με μία πέμπτη δύναμη!

Όμως, σύμφωνα με την εικασία του Euler, θα χρειάζονταν τουλάχιστον πέντε προσθετέοι. Η ισότητα αυτή ήταν αρκετή για να καταρρίψει την εικασία.

Οι δύο μαθηματικοί δημοσίευσαν το αποτέλεσμα χωρίς εκτενή εισαγωγή, αναλυτικούς υπολογισμούς ή μακροσκελή απόδειξη. Ανέφεραν απλώς ότι μια αναζήτηση στον CDC 6600 έδωσε το συγκεκριμένο αποτέλεσμα και ότι αυτό αποτελεί αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler.

Η μικροσκοπική αυτή δημοσίευση μας θυμίζει κάτι πολύ σημαντικό για τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν τα Μαθηματικά. Μπορούμε να εξετάσουμε εκατοντάδες, χιλιάδες ή ακόμη και εκατομμύρια περιπτώσεις μιας μαθηματικής πρότασης και να διαπιστώσουμε ότι επαληθεύεται σε όλες. Αυτό, όμως, δεν αποτελεί απόδειξη ότι η πρόταση ισχύει γενικά. Αντίθετα, ένα και μόνο αντιπαράδειγμα αρκεί για να αποδείξουμε ότι μια γενική πρόταση είναι λανθασμένη. Αυτό ακριβώς έκαναν οι Lander και Parkin το 1966.

2. Μια μαθηματική εργασία με μόλις δύο λέξεις! (2005)

Αν η εργασία των Lander και Parkin σάς φάνηκε υπερβολικά σύντομη, υπάρχει και κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό!

Το 2005, οι μαθηματικοί J. H. Conway και A. Soifer δημοσίευσαν στο American Mathematical Monthly μια εργασία με τίτλο “Covering a Triangle with Triangles” («Καλύπτοντας ένα τρίγωνο με τρίγωνα»). Το κυρίως κείμενο που είχαν αρχικά υποβάλει αποτελούνταν από δύο μόνο αγγλικές λέξεις, λίγα μαθηματικά σύμβολα και δύο σχήματα!

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν γεωμετρικό: πόσα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1 χρειάζονται για να καλύψουμε πλήρως ένα μεγαλύτερο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς λίγο μεγαλύτερης από έναν φυσικό αριθμό $n$;

Γνωρίζουμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $n$ μπορεί να χωριστεί σε $n^2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1. Τι γίνεται όμως αν αυξήσουμε ελάχιστα την πλευρά του μεγάλου τριγώνου, ώστε να γίνει $n+\varepsilon$, όπου $\varepsilon>0$ είναι πολύ μικρό;

Οι Conway και Soifer παρουσίασαν δύο διαφορετικές γεωμετρικές κατασκευές που έδειχναν ότι, για κατάλληλα μικρό $\varepsilon$, αρκούν $n^2+2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα. Και πώς παρουσίασαν το αποτέλεσμά τους; Με την απίστευτα λιτή φράση:

$$\boxed{n^2+2\ \text{can}}$$

Δηλαδή, «$n^2+2$ μπορούν»! Ακολουθούσαν δύο σχήματα που έδειχναν πώς μπορούσε να γίνει η κάλυψη.

Η ιστορία της δημοσίευσης έχει και μια αστεία λεπτομέρεια. Οι εκδότες του περιοδικού θεώρησαν ότι η εργασία ήταν υπερβολικά σύντομη και ζήτησαν από τους συγγραφείς να προσθέσουν μερικές επεξηγηματικές γραμμές. Εκείνοι, όμως, επέμειναν ότι τα σχήματα ήταν αρκετά για να παρουσιάσουν το αποτέλεσμά τους.

Τελικά, η εργασία δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 2005, αν και οι εκδότες πρόσθεσαν τίτλο και μετέφεραν το αρχικό ερώτημα στο κυρίως κείμενο, κάνοντας τη δημοσιευμένη εκδοχή λίγο μεγαλύτερη από εκείνη που είχαν αρχικά υποβάλει οι μαθηματικοί.

3. Δύο σελίδες που άλλαξαν τη θεωρία παιγνίων (1949)

Η τρίτη εργασία δεν είναι τόσο μικρή όσο οι προηγούμενες. Καταλαμβάνει σχεδόν δύο  σελίδες! Ωστόσο, η επίδρασή της στα Μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες υπήρξε τεράστια.

Το 1950, ο νεαρός τότε μαθηματικός John Nash δημοσίευσε την εργασία “Equilibrium Points in n-Person Games” («Σημεία ισορροπίας σε παίγνια $n$ παικτών»).

Στις δύο αυτές σελίδες παρουσίασε ένα αποτέλεσμα που συνδέεται με την έννοια της ισορροπίας Nash, η οποία αποτελεί σήμερα μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.

Με απλά λόγια, σε μια ισορροπία Nash, κάθε παίκτης έχει επιλέξει μια στρατηγική τέτοια, ώστε να μην τον συμφέρει να την αλλάξει μόνος του, εφόσον οι υπόλοιποι παίκτες διατηρούν τις δικές τους στρατηγικές. Η ιδέα αυτή βρήκε εφαρμογές όχι μόνο στα Μαθηματικά, αλλά και στα Οικονομικά, στην Πολιτική Επιστήμη, στη Βιολογία και σε πολλούς άλλους τομείς.

Το 1994, ο Nash τιμήθηκε με το Βραβείο Οικονομικών Επιστημών στη Μνήμη του Alfred Nobel, μαζί με τους John Harsanyi και Reinhard Selten, για τη συμβολή τους στη θεωρία παιγνίων. Δύο σελίδες αποδείχθηκαν αρκετές για να παρουσιαστεί μια ιδέα που επηρέασε ολόκληρους επιστημονικούς κλάδους.

Τελικά, η αξία μιας μαθηματικής εργασίας δεν μετριέται με τον αριθμό των σελίδων της!

Διαβάστε περισσότερα εδώ:

IMPA: The shortest articles in the history of mathematics

Η εξίσωση που περιγράφει κάθε πατατάκι και τη συσκευασία τους!

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί τα γνωστά και αγαπητά πατατάκια έχουν αυτό το παράξενο, καμπυλωτό σχήμα; Δεν πρόκειται για μια τυχαία επιλογή. Το σχήμα τους θυμίζει μια μαθηματική επιφάνεια που λέγεται υπερβολικό παραβολοειδές.

Τι είναι το υπερβολικό παραβολοειδές;

Υπερβολικό παραβολοειδές λέγεται η επιφάνεια η οποία ορίζεται από μια εξίσωση της μορφής 

\(\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=\gamma z\) (1),

όπου α, β, γ = σταθερά και α, β > 0, γ \(\neq 0\), με τον άξονα Oz να είναι ο άξονας της επιφάνειας.

Οι εξισώσεις

\(\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{z^2}{\beta^2}=\gamma y\)  και  \(\frac{y^2}{\alpha^2}-\frac{z^2}{\beta^2}=\gamma x\) με α, β > 0, γ \(\neq 0\)

παριστάνουν επίσης υπερβολικά παραβολοειδή με άξονες τους Oy και Ox αντίστοιχα.

Το μόνο σημείο στο οποίο το υπερβολικό παραβολοειδές συναντάει τους άξονες συντεταγμένων είναι το Ο(0,0,0), που λέγεται κορυφή της επιφάνειας και είναι σαγματικό σημείο (ή αλλιώς σημείο σέλας). Δηλαδή, αν και μοιάζει με σημείο τοπικού ακροτάτου, δεν είναι (παρατηρήστε ότι ως προς μια κατεύθυνση είναι τοπικό ελάχιστό ενώ ως προς άλλη κατεύθυνση είναι τοπικό μέγιστο)!

Το υπερβολικό παραβολοειδές (1) μπορεί να προκύψει από την κίνηση της υπερβολής \({\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=\gamma k, z=k}, k \neq 0\), καθώς μεταβάλλεται το k, ή μιας εκ των παραβολών \({\frac{x^2}{\alpha^2}=\gamma z + \frac{\lambda^2}{\beta^2}, y=\lambda}, (\lambda \in \mathbb{R})\) ή \({\frac{y^2}{\beta^2}=-\gamma z + \frac{\mu^2}{\alpha^2}, x=\mu}, (\mu \in \mathbb{R})\), καθώς μεταβάλλεται το λ ή το μ αντίστοιχα.

Μην αφήσετε όμως τα σύμβολα να σας τρομάξουν! Οι εξισώσεις αυτές κρύβουν μια πολύ όμορφη γεωμετρική ιδιότητα: Αν κόψουμε την επιφάνεια με οριζόντια επίπεδα, τότε παίρνουμε υπερβολές. Αν την κόψουμε κατακόρυφα, τότε παίρνουμε παραβολές. Από αυτό το γεγονός προέρχεται και το όνομα της επιφάνειας!

Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι εν γένει μη φραγμένη επιφάνεια, αλλά φυσικά το πραγματικό πατατάκι έχει περιορισμένες διαστάσεις, ενώ επίσης έχει πάχος και ατέλειες. Οπότε η εξίσωση του υπερβολικού παραβολοειδούς δεν είναι παρά μια προσέγγιση της επιφάνειας που έχει ένα πατατάκι.

Και υπάρχει κάτι ακόμη πιο ενδιαφέρον... Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι ευθειογενής επιφάνεια, γιατί παράγεται από την κίνηση ευθείας. Δηλαδή, παρότι είναι καμπύλη επιφάνεια, μπορεί να "χτιστεί" από ευθείες. Με άλλα λόγια, πίσω από το καμπυλωτό σχήμα του πατατακιού κρύβεται ένας κόσμος από ευθείες γραμμές.

Γιατί όμως επιλέχθηκε αυτό το σχήμα;

Η καμπυλότητα κάνει μια λεπτή επιφάνεια σημαντικά πιο δύσκαμπτη και ανθεκτική από μια επίπεδη. Το χαρακτηριστικό "σαγματικό" τους σχήμα βοηθά τα πατατάκια να αντέχουν καλύτερα κατά τη συσκευασία και τη μεταφορά. Παράλληλα, χάρη στο σχήμα αυτό, τα πατατάκια μπορούν να στοιβάζονται το ένα πάνω στο άλλο, δημιουργώντας μια συμπαγή στήλη. Έτσι, δεν μπαίνουν σε σακούλα, αλλά σε μια κυλινδρική συσκευασία.

Η γεωμετρία της συσκευασίας τους: ορθός κυκλικός κύλινδρος

Ας ξεχάσουμε για λίγο το καπάκι και τον πάτο του δοχείου και ας κοιτάξουμε μόνο την πλαϊνή του επιφάνεια... Πώς μπορούμε να την κατασκευάσουμε μαθηματικά; 

Φανταστείτε μια ευθεία που κινείται στον χώρο. Καθώς κινείται, παραμένει πάντα παράλληλη προς τον εαυτό της, ενώ ταυτόχρονα περνά διαδοχικά από όλα τα σημεία ενός κύκλου. Η ευθεία αυτή "σαρώνει" μια επιφάνεια και δημιουργεί έναν κύλινδρο. Η ευθεία ονομάζεται γενέτειρα, επειδή είναι αυτή που δημιουργεί την επιφάνεια, ενώ ο κύκλος από τον οποίο περνά ονομάζεται οδηγός.   

Για παράδειγμα, η εξίσωση \({x^2+y^2=r^2, z \in \mathbb{R}}\) στον τρισδιάστατο χώρο (\(\mathbb{R}^3\)) παριστάνει τον γνωστό ορθό κυκλικό κύλινδρο, με ακτίνα r και γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα Oz. Ο κύκλος \({x^2+y^2=r^2, z=0 }\) μπορεί να λειτουργήσει ως οδηγός της επιφάνειας.

Βέβαια, υπάρχει μια μικρή διαφορά ανάμεσα στον μαθηματικό κύλινδρο και στο κυλινδρικό δοχείο που κρατάμε στα χέρια μας. 

Ο κύλινδρος, όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι εν γένει μη φραγμένη επιφάνεια, δηλαδή επεκτείνεται μέχρι το άπειρο. Αλλά φυσικά στην καθημερινή ζωή έχουμε τον κύλινδρο με περιορισμένο ύψος. Το κυλινδρικό δοχείο είναι ένα πεπερασμένο τμήμα μιας κυλινδρικής επιφάνειας, κλεισμένο με δύο κυκλικές βάσεις.

Δύο διαφορετικές επιφάνειες της Αναλυτικής Γεωμετρίας συναντιούνται λοιπόν στα πατατάκια και στην κυλινδρική τους συσκευασία. Και κάπως έτσι, αυτή η λιχουδιά έγινε ένα μικρό μάθημα Μαθηματικών! 

Γρίφος ηλικιών

Ο Μανώλης είναι 30 ετών. Η αδελφή του είναι σήμερα ηλικίας ίσης με το διπλάσιο της ηλικίας που είχε ο Μανώλης όταν εκείνη ήταν 30. Πόσο χρονών είναι η αδελφή του Μανώλη;

"Το καρέ με τις ντάμες"

Ένα πτώμα στη Μάνη. Μια καμένη Πόρσε στα περίχωρα της Αττικής, με έναν απανθρακωμένο οδηγό στο τιμόνι. Ένα ακόμη πτώμα στα ανοιχτά του Αργοσαρωνικού και ένας τέταρτος νεκρός σε έναν απομακρυσμένο σταθμό του Ηλεκτρικού. Τέσσερις φόνοι που αρχικά δεν φαίνεται να έχουν καμία σχέση μεταξύ τους.

Κι όμως, κοντά σε καθένα από τα θύματα εμφανίζεται το ίχνος μιας γυναίκας. Τέσσερις φόνοι, τέσσερις γυναίκες. Ένα καρέ με ντάμες.

Το «Καρέ με τις ντάμες» είναι το νέο αστυνομικό μυθιστόρημα του μαθηματικού και συγγραφέα Τεύκρου Μιχαηλίδη, που κυκλοφόρησε τον Μάρτιο του 2026 από τις εκδόσεις Ψυχογιός. Η υπαστυνόμος Όλγα Πετροπούλου, γνώριμη από προηγούμενα βιβλία του συγγραφέα, προσπαθεί να ανακαλύψει τι κρύβεται πίσω από τέσσερα εγκλήματα που μοιάζουν με ασύνδετα κομμάτια ενός παζλ. Η έρευνά της ξεκινά από τη Μάνη, περνά από την Αθήνα και την Αίγινα και φτάνει μέχρι το Παρίσι.

Ένα έγκλημα είναι κι αυτό πρόβλημα προς επίλυση

Ένα καλό αστυνομικό μυστήριο δεν απέχει και πολύ από ένα μαθηματικό πρόβλημα. Έχουμε δεδομένα, αναζητούμε σχέσεις ανάμεσά τους, διατυπώνουμε υποθέσεις, τις ελέγχουμε και απορρίπτουμε όσες δεν συμφωνούν με τα στοιχεία.

Και μερικές φορές κολλάμε, όχι επειδή μας λείπουν δεδομένα, αλλά επειδή ξεκινήσαμε από λανθασμένη υπόθεση. Κάτι τέτοιο συμβαίνει και στην Όλγα Πετροπούλου. Όπως εξηγεί ο κ. Μιχαηλίδης σε συνέντευξή του στην ομάδα «Θαλής + Φίλοι», ένα πρόβλημα μπορεί να μας φαίνεται χαοτικό επειδή προσπαθούμε να το προσεγγίσουμε με λανθασμένες αρχές. Για να λύσει το μυστήριο, η Όλγα πρέπει να εγκαταλείψει μια φαινομενικά αυτονόητη εκδοχή των γεγονότων και να κοιτάξει τα ίδια δεδομένα διαφορετικά.

Κάτι που όσοι λύνουμε μαθηματικά προβλήματα έχουμε μάλλον ζήσει αρκετές φορές: επιμένεις σε μια ιδέα, όλα περιπλέκονται και κάποια στιγμή συνειδητοποιείς ότι ίσως το πρόβλημα δεν είναι τόσο δύσκολο όσο ο τρόπος με τον οποίο το κοιτάζεις.

Υπάρχει όμως και μια δεύτερη σύνδεση. Ο σύντροφος της Όλγας αναρωτιέται αν κυνηγά με τόσο πάθος τους δολοφόνους μόνο από αίσθημα δικαιοσύνης ή επειδή απλώς δεν αντέχει να αφήσει άλυτο ένα δύσκολο πρόβλημα.

Ο κ. Μιχαηλίδης αναγνωρίζει εδώ κάτι από την ψυχοσύνθεση του μαθηματικού. Μπροστά σε ένα δύσκολο πρόβλημα, το πρώτο κίνητρο είναι συχνά η ίδια η επιθυμία να το λύσει και αμέσως μετά έρχεται η περιέργεια γύρω από τη λύση. Ίσως γι’ αυτό τα μαθηματικά και το αστυνομικό μυθιστόρημα ταιριάζουν τόσο καλά. Ο λύτης ενός προβλήματος και ο αναγνώστης ενός μυστηρίου μοιράζονται την ίδια απορία: «Ποια είναι τελικά η λύση;».

Από τον Αρχιμήδη και τη Noether μέχρι τον Fermat και τον Möbius

Τα μαθηματικά δεν υπάρχουν στο βιβλίο μόνο ως τρόπος σκέψης. Στις σελίδες του συναντάμε την ερευνητική μέθοδο του Αρχιμήδη, την Emmy Noether, τον M. C. Escher, την ταινία του Möbius, το ΤελευταίοΘεώρημα του Fermat, αλλά και το «ξυράφι του Όκαμ», τη μεθοδολογική αρχή σύμφωνα με την οποία κανείς δεν θα πρέπει να προβαίνει σε περισσότερες εικασίες από όσες είναι απαραίτητες.

Υπάρχει ακόμη ένα ζήτημα, το οποίο έχει απασχολήσει πολύ τα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες: το τυχαίο. Ο κ. Μιχαηλίδης θυμίζει τον Laplace, για τον οποίο το τυχαίο συνδεόταν με την αδυναμία μας να γνωρίζουμε όλες τις αιτίες ενός φαινομένου, αλλά και τον Heisenberg και τη διαφορετική εικόνα που έφερε η σύγχρονη φυσική. Άλλωστε, τόσο στις αστυνομικές έρευνες όσο και στην επιστημονική ανακάλυψη, κάτι μπορεί αρχικά να μοιάζει ότι συνέβη «κατά τύχη». Αν όμως κοιτάξουμε καλύτερα, ίσως το τυχαίο να μην ήταν και τόσο τυχαίο.

Η λύση πίσω από το χάος

Το «Καρέ με τις ντάμες» αποτελεί ένα αστυνομικό μυθιστόρημα. Κέρδισε, όμως, μια θέση στη στήλη «Μαθηματικά και Λογοτεχνία» του blog, όχι τόσο για τα μαθηματικά που συναντάμε στις σελίδες του, όσο για τον τρόπο με τον οποίο αυτά διατρέχουν την ιστορία: στην αναζήτηση σχέσεων ανάμεσα σε φαινομενικά ασύνδετα γεγονότα, στην αμφισβήτηση του προφανούς, στην αλλαγή οπτικής όταν μια υπόθεση οδηγεί σε αδιέξοδο.

Και κάπου εκεί συναντιούνται το αστυνομικό μυστήριο και τα μαθηματικά. Γιατί και στα δύο, όσο χαοτικά κι αν μοιάζουν αρχικά τα δεδομένα, υπάρχει πάντα η προσδοκία ότι κάπου κρύβεται μια λύση. Το μόνο που μένει είναι να τη βρεις...

 

Περισσότερα για το βιβλίο:

Παρουσίαση και συνέντευξη του Τεύκρου Μιχαηλίδη στην ομάδα «Θαλής + Φίλοι».