Μπορεί μια επιστημονική εργασία
να αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις; Ή ακόμη και από δύο λέξεις; Κι όμως,
στην ιστορία των Μαθηματικών υπάρχουν δημοσιεύσεις που καταλαμβάνουν ελάχιστο
χώρο στο χαρτί, αλλά το περιεχόμενό τους είναι πολύ σημαντικότερο από την έκτασή
τους.
Μια τέτοια εργασία κατάφερε το
1966 να καταρρίψει μια εικασία που είχε διατυπώσει ο μεγάλος μαθηματικός
Leonhard Euler σχεδόν 200 χρόνια νωρίτερα!
1. Δύο προτάσεις που κατέρριψαν μια εικασία 200 ετών (1966)
Το 1966, οι μαθηματικοί L. J.
Lander και T. R. Parkin δημοσίευσαν στο περιοδικό Bulletin of the AmericanMathematical Society μια εργασία με τίτλο “Counterexample to Euler's
Conjecture on Sums of Like Powers” («Αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler
για αθροίσματα ομοίων δυνάμεων»). Η δημοσίευσή τους καταλαμβάνει ένα μικρό μόνο
μέρος μιας σελίδας και το κυρίως κείμενό της αποτελείται από μόλις δύο
προτάσεις και μία βιβλιογραφική αναφορά!
Τι ακριβώς είχαν ανακαλύψει, ώστε
να μη χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις;
Η εικασία του Euler
Το 1769, ο Leonhard Euler
διατύπωσε μια εικασία που αποτελούσε γενίκευση του περίφημου Τελευταίου
Θεωρήματος του Fermat.
Σύμφωνα με το τελευταίο, για κάθε
φυσικό αριθμό $n>2$, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$ που να
ικανοποιούν την εξίσωση:
$$a^n+b^n=c^n$$
Με άλλα λόγια, το άθροισμα δύο
κύβων θετικών ακεραίων δεν μπορεί να ισούται με έναν τρίτο κύβο, το άθροισμα
δύο τέταρτων δυνάμεων δεν μπορεί να ισούται με μια άλλη τέταρτη δύναμη κ.ο.κ.
Ο Euler προχώρησε ένα βήμα
παραπέρα και διατύπωσε την ακόλουθη εικασία:
Για να εκφραστεί μια $n$-οστή
δύναμη θετικού ακεραίου ως άθροισμα άλλων $n$-οστών δυνάμεων θετικών ακεραίων,
απαιτούνται τουλάχιστον $n$ προσθετέοι, για $n>2$.
Για παράδειγμα, σύμφωνα με την
εικασία:
- Για $n=3$, απαιτούνται τουλάχιστον τρεις κύβοι για να προκύψει ένας άλλος κύβος.
- Για $n=4$, απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις τέταρτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη τέταρτη δύναμη.
- Για $n=5$, απαιτούνται τουλάχιστον πέντε πέμπτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη πέμπτη δύναμη.
Η εικασία φαινόταν εύλογη.
Άλλωστε, δεν είχε βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει.
Το αντιπαράδειγμα που ανέτρεψε
την εικασία
Το 1966, σχεδόν δύο αιώνες
αργότερα, οι Lander και Parkin χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή CDC 6600 για να
αναζητήσουν αριθμητικές λύσεις.
Και ανακάλυψαν την ακόλουθη
ισότητα:
$$\boxed{27^5+84^5+110^5+133^5=144^5}$$
Δηλαδή, το άθροισμα τεσσάρων
πέμπτων δυνάμεων ισούται με μία πέμπτη δύναμη!
Όμως, σύμφωνα με την εικασία του
Euler, θα χρειάζονταν τουλάχιστον πέντε προσθετέοι. Η ισότητα αυτή ήταν αρκετή
για να καταρρίψει την εικασία.
Οι δύο μαθηματικοί δημοσίευσαν το
αποτέλεσμα χωρίς εκτενή εισαγωγή, αναλυτικούς υπολογισμούς ή μακροσκελή
απόδειξη. Ανέφεραν απλώς ότι μια αναζήτηση στον CDC 6600 έδωσε το συγκεκριμένο
αποτέλεσμα και ότι αυτό αποτελεί αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler.
Η μικροσκοπική αυτή δημοσίευση
μας θυμίζει κάτι πολύ σημαντικό για τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν τα
Μαθηματικά. Μπορούμε να εξετάσουμε εκατοντάδες, χιλιάδες ή ακόμη και
εκατομμύρια περιπτώσεις μιας μαθηματικής πρότασης και να διαπιστώσουμε ότι
επαληθεύεται σε όλες. Αυτό, όμως, δεν αποτελεί απόδειξη ότι η πρόταση ισχύει
γενικά. Αντίθετα, ένα και μόνο αντιπαράδειγμα αρκεί για να αποδείξουμε ότι μια
γενική πρόταση είναι λανθασμένη. Αυτό ακριβώς έκαναν οι Lander και Parkin το
1966.
2. Μια μαθηματική εργασία με
μόλις δύο λέξεις! (2005)
Αν η εργασία των Lander και
Parkin σάς φάνηκε υπερβολικά σύντομη, υπάρχει και κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό!
Το 2005, οι μαθηματικοί J. H. Conway και A. Soifer δημοσίευσαν στο American Mathematical Monthly μια εργασία με τίτλο “Covering a Triangle with Triangles” («Καλύπτοντας ένα τρίγωνο με τρίγωνα»). Το κυρίως κείμενο που είχαν αρχικά υποβάλει αποτελούνταν από δύο μόνο αγγλικές λέξεις, λίγα μαθηματικά σύμβολα και δύο σχήματα!
Το πρόβλημα που τους απασχολούσε
ήταν γεωμετρικό: πόσα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1 χρειάζονται για να
καλύψουμε πλήρως ένα μεγαλύτερο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς λίγο μεγαλύτερης από
έναν φυσικό αριθμό $n$;
Γνωρίζουμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $n$ μπορεί να χωριστεί σε $n^2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1. Τι γίνεται όμως αν αυξήσουμε ελάχιστα την πλευρά του μεγάλου τριγώνου, ώστε να γίνει $n+\varepsilon$, όπου $\varepsilon>0$ είναι πολύ μικρό;
Οι Conway και Soifer παρουσίασαν δύο διαφορετικές γεωμετρικές κατασκευές που έδειχναν ότι, για κατάλληλα μικρό $\varepsilon$, αρκούν $n^2+2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα. Και πώς παρουσίασαν το αποτέλεσμά τους; Με την απίστευτα λιτή φράση:
$$\boxed{n^2+2\ \text{can}}$$
Δηλαδή, «$n^2+2$ μπορούν»! Ακολουθούσαν δύο σχήματα που έδειχναν πώς μπορούσε να γίνει η κάλυψη.
Η ιστορία της δημοσίευσης έχει
και μια αστεία λεπτομέρεια. Οι εκδότες του περιοδικού θεώρησαν ότι η εργασία
ήταν υπερβολικά σύντομη και ζήτησαν από τους συγγραφείς να προσθέσουν μερικές
επεξηγηματικές γραμμές. Εκείνοι, όμως, επέμειναν ότι τα σχήματα ήταν αρκετά για
να παρουσιάσουν το αποτέλεσμά τους.
Τελικά, η εργασία δημοσιεύτηκε
τον Ιανουάριο του 2005, αν και οι εκδότες πρόσθεσαν τίτλο και μετέφεραν το
αρχικό ερώτημα στο κυρίως κείμενο, κάνοντας τη δημοσιευμένη εκδοχή λίγο
μεγαλύτερη από εκείνη που είχαν αρχικά υποβάλει οι μαθηματικοί.
3. Δύο σελίδες που άλλαξαν τη
θεωρία παιγνίων (1949)
Η τρίτη εργασία δεν είναι τόσο
μικρή όσο οι προηγούμενες. Καταλαμβάνει σχεδόν δύο σελίδες! Ωστόσο, η
επίδρασή της στα Μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες υπήρξε τεράστια.
Το 1950, ο νεαρός τότε
μαθηματικός John Nash δημοσίευσε την εργασία “Equilibrium Points in n-Person Games” («Σημεία
ισορροπίας σε παίγνια $n$ παικτών»).
Στις δύο αυτές σελίδες παρουσίασε
ένα αποτέλεσμα που συνδέεται με την έννοια της ισορροπίας Nash, η οποία
αποτελεί σήμερα μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.
Με απλά λόγια, σε μια ισορροπία Nash, κάθε παίκτης έχει επιλέξει μια στρατηγική τέτοια, ώστε να μην τον συμφέρει να την αλλάξει μόνος του, εφόσον οι υπόλοιποι παίκτες διατηρούν τις δικές τους στρατηγικές. Η ιδέα αυτή βρήκε εφαρμογές όχι μόνο στα Μαθηματικά, αλλά και στα Οικονομικά, στην Πολιτική Επιστήμη, στη Βιολογία και σε πολλούς άλλους τομείς.
Το 1994, ο Nash τιμήθηκε με το Βραβείο Οικονομικών Επιστημών στη Μνήμη του Alfred Nobel, μαζί με τους John Harsanyi και Reinhard Selten, για τη συμβολή τους στη θεωρία παιγνίων. Δύο σελίδες αποδείχθηκαν αρκετές για να παρουσιαστεί μια ιδέα που επηρέασε ολόκληρους επιστημονικούς κλάδους.
Τελικά, η αξία μιας μαθηματικής
εργασίας δεν μετριέται με τον αριθμό των σελίδων της!
Διαβάστε περισσότερα εδώ:
