Μια νέα εξίσωση που περιγράφει κάθε... αβγό!

Πώς ένα από τα πιο συνηθισμένα αντικείμενα της φύσης οδήγησε σε ένα απρόσμενα δύσκολο πρόβλημα γεωμετρίας

Όταν παίρνουμε ένα αβγό από το ψυγείο, μάλλον σκεφτόμαστε το γεύμα μας και όχι τα Μαθηματικά… Εκτός ίσως από κάποιους επιστήμονες! Γιατί το σχήμα του αβγού αποτελεί ένα ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα εδώ και δεκαετίες: Πώς μπορούμε να περιγράψουμε με έναν μαθηματικό τύπο το περίγραμμα ενός αβγού; Και ακόμη:

Μπορούμε να βρούμε έναν ενιαίο τύπο που να περιγράφει τα αβγά όλων των πτηνών;

Το 2021 οι Narushin, Romanov και Griffin πρότειναν μια νέα μαθηματική λύση στο πρόβλημα, σε εργασία τους με τίτλο “Egg and math: introducing a universal formula for egg shape”, που δημοσιεύθηκε στο Annals of the New York Academy of Sciences.

Για να φτάσουμε, όμως, στην καθολική εξίσωση, πρέπει πρώτα να ακολουθήσουμε μια μικρή μαθηματική διαδρομή…

Τέσσερα διαφορετικά είδη αβγών

Παρόλο που στο μυαλό μας το «σχήμα αβγού» είναι συνήθως ένα συγκεκριμένο ωοειδές σχήμα, στη φύση υπάρχει μεγάλη ποικιλία. Οι ερευνητές, ακολουθώντας την ταξινόμηση του Nishiyama, διακρίνουν τέσσερις βασικές μορφές:

• κυκλική, που αντιστοιχεί σε σχεδόν σφαιρικό αβγό
• ελλειπτική, που αντιστοιχεί σε ελλειψοειδές
• ωοειδής
• απιοειδής ή αχλαδόμορφη

Τα τρία πρώτα σχήματα μπορούν να περιγραφούν σχετικά φυσικά με γνωστές γεωμετρικές καμπύλες. Το πρόβλημα αρχίζει με το τέταρτο.

Ένα απιοειδές αβγό είναι πολύ πιο φαρδύ προς τη μία πλευρά και καταλήγει σε έντονα «μυτερό» άκρο. Δεν είναι απλώς μια έλλειψη που έχει «τραβηχτεί» λίγο προς τη μία πλευρά. Και ακριβώς αυτά τα αβγά ήταν ο λόγος που οι παλαιότερες μαθηματικές περιγραφές δεν μπορούσαν να θεωρηθούν πραγματικά καθολικές.

Από τον κύκλο στο αβγό

Για να καταλάβουμε την ιδέα των ερευνητών, ας ξεκινήσουμε από κάτι πολύ πιο απλό.

Ο κύκλος περιγράφεται από την εξίσωση:

\(x^2+y^2=r^2\)

Αν θέλουμε να κάνουμε τον κύκλο «μακρύτερο» προς μία κατεύθυνση, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την κοινή ακτίνα με δύο διαφορετικούς ημιάξονες. Παίρνουμε έτσι την εξίσωση της έλλειψης:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Έχουμε λοιπόν την πρώτη μετάβαση: κύκλος → έλλειψη

Αλλά ξέρουμε ότι το αβγό δεν είναι απλώς μια έλλειψη. Η μία πλευρά του είναι συνήθως πιο «στρογγυλεμένη» και η άλλη πιο «μυτερή». Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο να μετακινήσουμε την κατακόρυφη διεύθυνση του σχήματος, ώστε να δημιουργήσουμε ασυμμετρία. Εδώ εμφανίζεται το μοντέλο του Γερμανού μηχανικού Hügelschäffer.

Η εξίσωση του Hügelschäffer

Οι Narushin και οι συνεργάτες του χρησιμοποιούν ως αφετηρία το μοντέλο του Hügelschäffer, το οποίο μπορεί να περιγράψει τα κυκλικά, ελλειπτικά και ωοειδή αβγά, όπως το συνηθισμένο αβγό της κότας.

Η εξίσωση γράφεται:

όπου:

• L είναι το μήκος του αβγού
• B είναι το μέγιστο πλάτος
• x είναι η οριζόντια θέση
• y είναι η απόσταση από τον οριζόντιο άξονα μέχρι το περίγραμμα
• w είναι μια παράμετρος που περιγράφει τη μετατόπιση του κατακόρυφου άξονα που περνά από το σημείο μέγιστου πλάτους σε σχέση με το μέσο του αβγού.

Το \(\plusminus\) υπάρχει επειδή για κάθε θέση x έχουμε δύο σημεία του περιγράμματος: ένα πάνω από τον άξονα των x και ένα κάτω από αυτόν.

Και εδώ συμβαίνει κάτι πολύ όμορφο: Αν \(L=B\), το σχήμα γίνεται κύκλος. Αν \(w=0\), το σχήμα γίνεται έλλειψη.

Με κατάλληλες τιμές του w, μπορούμε να πάρουμε διάφορα ωοειδή σχήματα. Έτσι έχουμε μια δεύτερη σειρά μεταβάσεων: κύκλος → έλλειψη →  ωοειδές

Το αβγό που δεν χωρά στην εξίσωση

Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε το w όλο και μικρότερο. Το ωοειδές σχήμα γίνεται ολοένα και πιο μυτερό. Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι, αν συνεχίσουμε αρκετά, θα φτάσουμε και στα απιοειδή (αχλαδόμορφα) αβγά. Αλλά δεν συμβαίνει αυτό!

Το μοντέλο του Hügelschäffer έχει έναν περιορισμό: η παράμετρος w δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Οι ερευνητές δείχνουν ότι, αν προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο, η καμπύλη που προκύπτει παύει να μοιάζει με πραγματικό αβγό. Έτσι, τα απιοειδή αβγά παραμένουν έξω από το μοντέλο.

Και εδώ βρίσκεται το πραγματικό μαθηματικό πρόβλημα της εργασίας…

Πώς περιγράφουμε το σχήμα του απιοειδούς αβγού;

Οι ερευνητές δεν εγκαταλείπουν το μοντέλο του Hügelschäffer. Αντίθετα, προσπαθούν να κατασκευάσουν ένα δεύτερο μοντέλο, ειδικά για τα απιοειδή αβγά. Μετά από μαθηματικούς υπολογισμούς καταλήγουν στην εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να δώσει το χαρακτηριστικό πιο «κωνικό», αχλαδόμορφο περίγραμμα.

Έχουμε λοιπόν πλέον δύο καμπύλες: την καμπύλη του Hügelschäffer, που περιγράφει το κλασικό ωοειδές σχήμα και την καινούργια καμπύλη, που περιγράφει το απιοειδές.

Αλλά τώρα εμφανίζεται ένα ακόμη πιο ενδιαφέρον ερώτημα: Και τι γίνεται με τα αβγά που βρίσκονται ανάμεσα;

Φανταστείτε ότι σχεδιάζουμε τις δύο καμπύλες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Θα υπάρχει μια περιοχή ανάμεσα στις δύο. Τι γίνεται, λοιπόν, με ένα πραγματικό αβγό που βρίσκεται κάπου ανάμεσα στο κανονικό ωοειδές και στο καθαρά απιοειδές σχήμα;

Οι ερευνητές ορίζουν τότε τη διαφορά: \(y=y_H-y_c\), όπου \( y_H \) είναι η τιμή από το μοντέλο του Hügelschäffer και \( y_c\) η αντίστοιχη τιμή από το απιοειδές μοντέλο. Αυτή η διαφορά αποτελεί ουσιαστικά ένα μέτρο του πόσο «μυτερό» είναι το αβγό. Όταν η διαφορά είναι μηδέν, έχουμε το κλασικό ωοειδές. Όταν παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή, προσεγγίζουμε το κλασικό απιοειδές σχήμα.

Και τώρα οι ερευνητές κάνουν το αποφασιστικό βήμα: κατασκευάζουν μια συνάρτηση που συμπληρώνει όλη την περιοχή ανάμεσα στα δύο μοντέλα. Αυτό τους οδηγεί στην τελική καθολική εξίσωση.

Η «καθολική εξίσωση» του αβγού

Η τελική σχέση που ανακάλυψαν οι ερευνητές είναι η εξής:

 

Πρόκειται δηλαδή για ένα παραμετρικό μοντέλο που περιλαμβάνει το τμήμα του μοντέλου του Hügelschäffer και χρησιμοποιεί τέσσερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά:

• L: το συνολικό μήκος του αβγού,
• B: το μέγιστο πλάτος,
• w: η μετατόπιση του άξονα του μέγιστου πλάτους,
• \(D_{L/4}\): η διάμετρος του αβγού σε σημείο που βρίσκεται σε απόσταση \(\frac{L}{4}\) από το μυτερό άκρο.

Μετρώντας λοιπόν αυτά τα χαρακτηριστικά σε ένα πραγματικό αβγό, μπορούμε να προσδιορίσουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και να ανακατασκευάσουμε το περίγραμμά του.

Αυτό είναι ίσως το πιο εντυπωσιακό σημείο της όλης ιστορίας. Έχουμε ένα πραγματικό αντικείμενο, με ένα περίπλοκο και ακανόνιστο περίγραμμα. Τοποθετούμε νοητά ένα σύστημα συντεταγμένων πάνω του. Μετράμε τα L, B, w και \(D_{L/4}\) και στη συνέχεια τα Μαθηματικά κάνουν την υπόλοιπη δουλειά!

Η παραπάνω συνάρτηση μάς δίνει, για κάθε x, την αντίστοιχη τιμή του y. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για όλες τις θέσεις, παίρνουμε μια καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι το μαθηματικό περίγραμμα του αβγού. Το σημαντικό είναι ότι η ίδια γενική εξίσωση μπορεί θεωρητικά να κινηθεί σε ολόκληρο το φάσμα: σφαιρικό, ελλειπτικό, ωοειδές, απιοειδές.

Οι συγγραφείς δοκίμασαν το μοντέλο και σε απιοειδή αβγά διαφορετικών σχημάτων, όπως είναι αυτά του βασιλικού πιγκουίνου ή πολλών παρυδάτιων πτηνών, πετυχαίνοντας άλλη μία συνάντηση των Μαθηματικών με τη Βιολογία. Οι συγγραφείς βέβαια δεν ισχυρίζονται ότι η εξίσωση αναπαριστά κάθε σημείο του περιγράμματος κάθε πραγματικού αβγού με απόλυτη ακρίβεια. Αναγνωρίζουν ότι τα φυσικά αντικείμενα είναι πολύ πιο ποικίλα από τα ιδανικά μαθηματικά σχήματα.

Φυσικά, ο στόχος της μαθηματικής μοντελοποίησης δεν είναι πάντα να αντιγράψει κάθε μικροσκοπική ατέλεια της πραγματικότητας. Συχνά είναι να βρει ένα απλό και χρήσιμο μαθηματικό αντικείμενο που συλλαμβάνει τη βασική δομή ενός πραγματικού φαινομένου μέσα από την τεράστια ποικιλία της φύσης. Οι συγγραφείς της έρευνας θεωρούν ότι ένα τέτοιο μαθηματικό πλαίσιο μπορεί να αποτελέσει βάση για περαιτέρω έρευνα στη Βιολογία, στη Μηχανική και στα Μαθηματικά...

 

Πηγή

Narushin, V. G., Romanov, M. N. & Griffin, D. K. (2021). Egg and math: introducing a universal formula for egg shape. Annals of the New York Academy of Sciences, 1505, 169–177. DOI: 10.1111/nyas.14680.

Καλή επιτυχία στους μαθητές μας!

 

Η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν αφορά απλώς μερικούς υπολογισμούς, αλλά κάτι πολύ βαθύτερο: τη μαθηματική σκέψη και τη μαθηματική λογική, η οποία μας βοηθά στην εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων. Αυτό είναι που θέλω οι μαθητές μου να κρατήσουν από τα μαθήματά μας, όποια πορεία κι αν ακολουθήσουν στις σπουδές τους και στη μετέπειτα ζωή τους! Ακόμη κι αν το εκπαιδευτικό σύστημα είναι αυτό που είναι! Όπως είχε πει ο Laurent Schwartz, "αυτό που είναι σημαντικό, είναι η εμβάθυνση στις έννοιες και η αντίληψη των δεσμών μεταξύ τους. Εκεί βρίσκεται η μαθηματική ευφυΐα. Το γεγονός της γρήγορης ή αργής προόδου είναι δευτερεύον".

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που δίνουν εξετάσεις!

"Ο διαβήτης του Πλάτωνα"

 

Κατά τη διάρκεια του Πελοποννησιακού Πολέμου, η Δήλος προσβλήθηκε από λοιμό. Αντιπροσωπία πολιτών της ζήτησε χρησμό από το μαντείο των Δελφών. "Οι Δήλιοι και οι άλλοι Έλληνες θα ελευθερωθούν από τα παρόντα δεινά αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του θεού", προφήτεψε η Πυθία... 

Βερολίνο 1929-1931. Ο νεαρός μαθηματικός Μπάρτελ βαν ντερ Βέρντεν εντοπίζει μια αντινομία στην "Πολιτεία" του Πλάτωνα, που τον φέρνει μέχρι την πόρτα του μεγάλου ελληνιστή φον Βιλαμόβιτς. Οι δύο άντρες θα ξεκινήσουν μαζί ένα ταξίδι στην ιστορία, σε αναζήτηση του νήματος ενός περίφημου μαθηματικού γρίφου, που παρέμενε άλυτος στην πορεία του χρόνου και της επιστήμης: του δηλίου προβλήματος, το οποίο σχετίζεται με τον διπλασιασμό του κύβου.

Με αγωνιώδη πλοκή και με αφήγηση που εναλλάσσεται από την κλασική Αθήνα στο Βερολίνο και το Γκέτινγκεν του Μεσοπολέμου, παραμονές ανόδου του Χίτλερ στην εξουσία, το μυθιστόρημα "Ο διαβήτης του Πλάτωνα" του Γιάννη Γρηγοράκη συνδυάζει με δεξιοτεχνία την πολιτική με τα μαθηματικά και ζωντανεύει δύο εποχές που σφράγισαν την παγκόσμια ιστορία.

Μεγάλες προσωπικότητες της επιστήμης και των γραμμάτων, από τον Πλάτωνα, τον Θεαίτητο, τον Εύδοξο και τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, μέχρι τον Βιλαμόβιτς, τον βαν ντερ Βέρντεν, την Έμι Νέτερ και τον Γκάνταμερ, σκιαγραφούνται, παίρνουν μορφή και κινούνται αναζητώντας το νήμα του γρίφου.

Σε τι μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά?

 

Για τους μαθητές που αναρωτιούνται πού θα χρειαστούν τα μαθηματικά στη ζωή τους, ο συνάδελφος Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι Math Me Up εξηγεί με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων σε τι ακριβώς μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά στην καθημερινή μας ζωή, αλλά και στον τρόπο που επηρεάζουν τον πολιτισμό μας και τον κόσμο γύρω μας.

Γρίφος: Παράξενη αριθμομηχανή!

 

Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια παράξενη αριθμομηχανή, η οποία μπορεί να εκτελέσει μόνο δύο πράξεις: Για κάθε δεδομένο ακέραιο αριθμό α, μπορεί να υπολογίσει το 2α + 1 ή το (α - 1)/3.

(Η δεύτερη πράξη είναι δυνατή μόνο όταν το α - 1 διαιρείται με το 3).

Μπορείτε, ξεκινώντας από το 1, να καταλήξετε με αυτή την αριθμομηχανή στο 8;

"Πυθαγόρεια εγκλήματα"

 

Αθήνα, 1929. Ο μαθηματικός Στέφανος Κανταρτζής βρίσκεται νεκρός στο δωμάτιό του. Ο επιστήθιος φίλος του, επίσης μαθηματικός, Μιχαήλ Ιγερινός, καλείται για να αναγνωρίσει το πτώμα. Όρθιος μπροστά στο νεκρό φίλο του, ο Ιγερινός αναπολεί τα κάπου τριάντα χρόνια της γνωριμίας τους: την πρώτη τους συνάντηση σ' ένα μαθηματικό συνέδριο το 1900, τις παρέες τους με τις αβάν γκαρντ της παρισινής διανόησης, τις περιπλανήσεις τους στο Παρίσι της Μπελ Επόκ, τους Βαλκανικούς Πολέμους, το Διχασμό, τη Μικρασιατική Καταστροφή. Θυμάται τις θυελλώδεις μαθηματικές τους διαφωνίες, τους έρωτές τους, τις πολεμικές τους περιπέτειες. Ο ήχος μιας ρομβίας τον επαναφέρει στο παρόν. Το ερώτημα είναι επιτακτικό: Ποιος σκότωσε τον Στεφανο Κανταρτζή, και κυρίως γιατί τον σκότωσε;

Μια αστυνομική περιπέτεια με έντονο μαθηματικό άρωμα, τα "Πυθαγόρεια εγκλήματα" του Τεύκρου Μιχαηλίδη αφηγούνται ένα φανταστικό έγκλημα με φόντο ένα αληθινό, σημαντικό φιλοσοφικό και μαθηματικό πρόβλημα.

Καλό Πάσχα!

Το blog "εις το άπειρον" εύχεται στους αναγνώστες του Καλό Πάσχα και Καλή Ανάσταση! 

Πηγή εικόνας

Ο αλγόριθμος υπολογισμού της ημερομηνίας του ορθόδοξου Πάσχα από τον Gauss

 

Πότε πέφτει φέτος το Πάσχα; Του χρόνου;

Στο βίντεο του μαθηματικού Θανάση Δρούγα (Μαθημαγικά) παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Gauss, με τον οποίο μπορούμε να βρούμε πότε πέφτει το Πάσχα των ορθοδόξων οποιαδήποτε χρονιά μέχρι το 2099.

Ο τύπος υπολογισμού της ημερομηνίας του Πάσχα είναι:

όπου \(x\) το έτος, \(H(x)\) η ημερομηνία που πέφτει το Πάσχα το έτος \(x\) και \(AmodB\) το υπόλοιπο της Ευκλείδειας Διαίρεσης του \(A\) με το \(B\).

Πατώντας εδώ: ("GeeksforGeeks"), μπορείτε να δείτε τον αλγόριθμο σε C++, Java, Python3, C#, Javascript.

Επαληθεύστε το για \(x=2022\) !

Fraction Calculator: Μια αριθμομηχανή Κλασμάτων για Android!

Οι Νέες Τεχνολογίες είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι της σύγχρονης σχολικής πραγματικότητας και, εφόσον τα κινητά τηλέφωνα δεν λείπουν από κανέναν μαθητή, εμείς αποφασίσαμε να τα εκμεταλλευτούμε προς όφελος της μάθησης! Αυτός είναι και ο στόχος του m-Learning (ή mobile learning, κινητή μάθηση).

Αυτή τη φορά έχω να προτείνω την εφαρμογή για κινητά android, Fraction Calculator, που ανέπτυξε ο μαθηματικός Παντελής Μπουμπούλης. Πρόκειται για μια απλή και εύχρηστη αριθμομηχανή για πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Ο μαθητής εισάγει την κλασματική παράσταση που θέλει να υπολογίσει και η εφαρμογή δίνει το τελικό αποτέλεσμα, τόσο σε κλασματική μορφή, όσο και ως δεκαδικό αριθμό. Επιπρόσθετα, ο μαθητής μπορεί να δει πολύ αναλυτικά όλα τα βήματα των υπολογισμών, ώστε να κατανοήσει τη διαδικασία. Μπορεί, επίσης, να επιλέξει αν θέλει να δει το τελικό αποτέλεσμα ως απλό κλάσμα ή ως μεικτό αριθμό (η μορφή του μεικτού αριθμού χρησιμοποιείται πολύ στο δημοτικό αλλά και στο γυμνάσιο).

Είναι διαθέσιμη δωρεάν στο Play Store και μπορείτε να την κατεβάσετε πατώντας εδώ.  

Το παράδοξο του ψεύτη... Από τον Επιμενίδη στο Star Trek και ο γρίφος του γελωτοποιού

O Επιμενίδης από την Κρήτη (6ος αιώνας π.Χ.) ήταν θρησκευτικός διδάσκαλος, προφήτης και μάντης και είναι περισσότερο γνωστός για ένα λογικό παράδοξο που έχει συνδεθεί με το όνομά του. Η λέξη "παράδοξο" (παρά την δόξα) σημαίνει ό,τι είναι αντίθετο με την κοινή λογική, την καθιερωμένη άποψη και τη λογική συνέπεια. Ο Επιμενίδης, λοιπόν, έγραψε κάποτε:

"Οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα".

Αν σκεφτείτε καλά την παραπάνω πρόταση, θα δείτε ότι οδηγεί σε φαύλο κύκλο. Αν οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα, τότε και ο Επιμενίδης, ως Κρητικός λέει ψέματα. Άρα δεν αληθεύει η παραπάνω πρόταση, δηλαδή οι Κρητικοί δεν λένε πάντα ψέματα. Τότε όμως και ο Επιμενίδης δεν ψεύδεται κ.ο.κ. 

Κάποιοι βέβαια θα σκεφτούν ότι το παράδοξο αυτό επιλύεται πολύ εύκολα, αφού στην προηγούμενη πρόταση κάνουμε μια εσφαλμένη γενίκευση. Στη ζωή του ένας άνθρωπος λέει και ψέματα και αλήθειες. Ποτέ όμως ταυτόχρονα. Δεν είναι δυνατόν όλοι οι Κρητικοί να λένε ψέματα και μάλιστα ταυτόχρονα... 

Τα πράγματα, όμως, δεν είναι τόσο απλά, αφού δεν είναι αυτή η ουσία του παραδόξου. Ας ξεχάσουμε τους Κρητικούς και ας δούμε μια πρόταση, όπως οι κλασικές προτάσεις στα Μαθηματικά, που τις χειριζόμαστε με τη δίτιμη λογική των Μαθηματικών (και της Πληροφορικής), αληθής ή ψευδής:

"Αυτή η πρόταση είναι ψευδής".

Έστω ότι η παραπάνω πρόταση είναι αληθής. Τότε, σύμφωνα με αυτήν, είναι ψευδής. 

Έστω ότι η παραπάνω πρόταση είναι ψευδής. Τότε, αφού δεν ισχύει αυτό που λέει, δηλαδή δεν είναι ψευδής, η πρόταση αυτή είναι αληθής. Τελικά τι είναι;

Η πρόταση αυτή είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής. Το παράδοξο του Επιμενίδη ανήκει σε μια γενικότερη κατηγορία παραδόξων, τα λεγόμενα "παράδοξα του ψεύτη". Οι φιλόσοφοι χρησιμοποίησαν κατά καιρούς τα παράδοξα για να αντικρούσουν την πλάνη των αισθήσεων. Αντιθέτως, οι μαθηματικοί μάλλον τα αντιμετώπιζαν με τρόμο. Ήταν κάτι σαν το κουτί της Πανδώρας, που αν το ανοίξεις μπορεί να καταστραφεί όλο το μαθηματικό οικοδόμημα σε μια στιγμή! Τουλάχιστον αυτό ίσχυε μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, οπότε και τα παράδοξα άρχισαν να αντιμετωπίζονται με τρόπο περισσότερο εποικοδομητικό. 

Στο επεισόδιο "I, Mudd" του Star Trek - The Original Series (Season 2) γίνεται μια πετυχημένη αναφορά στο παράδοξο του ψεύτη. To πλήρωμα του Εντερπράιζ απάγεται και κρατείται σε έναν πλανήτη έξυπνων ανδροειδών. Με το τέχνασμα μιας έκρηξης, ο Κερκ και ο απατεώνας Χάρι Μαντ μπερδεύουν τον Νόρμαν, τον ηγέτη των ανδροειδών, χρησιμοποιώντας το παράδοξο του ψεύτη:

ΝΟΡΜΑΝ: Μα δεν υπήρξε έκρηξη...

ΜΑΝΤ: Είπα ψέματα.

ΝΟΡΜΑΝ: Τι;

ΚΕΡΚ: Είπε ψέματα. Όλα όσα σου λέει ο Χάρι είναι ψέματα. Να ξέρεις ότι όλα όσα σου λέει ο Χάρι είναι ένα ψέμα.

ΜΑΝΤ: Άκου με προσεκτικά, Νόρμαν. Σου λέω ψέματα.

ΝΟΡΜΑΝ: Λες ότι είσαι ψεύτης, αλλά αν ό,τι λες είναι ψέμα, τότε λες την αλήθεια, αλλά δεν μπορείς να πεις την αλήθεια, επειδή ό,τι λες είναι ψέματα. Λες ψέματα... Λες την αλήθεια... Αλλά δεν μπορείς να... Παράλογο! Παράλογο! Παρακαλώ εξηγήστε... Μόνο οι άνθρωποι μπορούν να το εξηγήσουν...

Επειδή ο Νόρμαν δεν μπορεί να επιλύσει το παράδοξο, το κεφάλι του αρχίζει να βγάζει καπνούς, ώσπου "μένει στον τόπο", αφήνοντας το πλήρωμα του Εντερπράιζ να δραπετεύσει.

Τέλος, ένας γρίφος λογικής που σχετίζεται με το σημερινό θέμα: 

Ένας βασιλιάς, που είχε βαρεθεί το γελωτοποιό του και έψαχνε αφορμή να τον ξεφορτωθεί, τον κάλεσε και του είπε: "Πες κάτι, ό,τι θέλεις. Αν αυτό που θα πεις είναι ψέμα, θα σε κρεμάσω. Αν αυτό που θα πεις είναι αλήθεια, θα σε σφάξω". Ο γελωτοποιός στάθηκε για λίγο σκεπτικός και έπειτα είπε κάτι στον βασιλιά. Και έζησε!

Τι του είπε;;; 

*~*-.-*~*-.-*~*

Πηγές και αναφορές:
Αναπολιτάνος Διονύσιος, Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Εκδόσεις Νεφέλη, 1961
Επιμενίδης - Βικιπαίδεια
Θαλής + φίλοι