Καλά Χριστούγεννα!

Καλά Χριστούγεννα σε όλες και όλους!🎄🌟

Να είναι οι γιορτές σας γεμάτες στιγμές που προσθέτουν χαρά, πολλαπλασιάζουν τα χαμόγελα και μηδενίζουν κάθε άγχος!

Μαθηματικά στο πνεύμα των Χριστουγέννων - 1ο ΓΕΛ Καλύμνου

Χρόνια πολλά!!!

"Ραμανουτζάν"

«Κύριε, κατάλαβα από το γράμμα σας ότι ανυπομονείτε να με έχετε στο Κέιμπριτζ. Από το πανεπιστήμιο μου ξεκαθάρισαν ότι δεν χρειάζεται να ανησυχώ για τα έξοδα και  το επίπεδο των αγγλικών μου και ότι θα μπορώ να  παραμείνω χορτοφάγος εκεί. Άρα μαζί με τον κύριο Λίτλγουντ μπορείτε να αναλάβετε να με φέρετε στη χώρα σας σε λίγους μήνες».

Με αυτά τα λόγια ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν, ένας φτωχός Ινδός επαρχιώτης, ενημέρωσε τον σπουδαίο Άγγλο μαθηματικό Γκόντφρεϊ Χάρντι ότι αποδεχόταν την πρόταση να μαθητεύσει στο πλευρό του… 

Μια μυθιστορηματική βιογραφία του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν από τις Εκδόσεις Τραυλός.

Μια ακατέργαστη ιδιοφυΐα

Ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν (Srinivasa Ramanujan, 22 Δεκεμβρίου 1887 – 26 Απριλίου 1920) γεννήθηκε με ένα χάρισμα: Έβλεπε τον κόσμο μέσα από τους αριθμούς. Η πρώτη του επαφή με τα μαθηματικά έγινε στην ηλικία των 10 ετών. Επέδειξε φυσική δεξιότητα στο αντικείμενο και του δόθηκαν βιβλία προχωρημένης τριγωνομετρίας, το περιεχόμενο των οποίων κατείχε απόλυτα στην ηλικία των 12 ετών. Στο σχολείο επέδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, κερδίζοντας επαίνους και βραβεία. Στην ηλικία των 17 ετών ο Ραμανουτζάν είχε ήδη διεξάγει την προσωπική του έρευνα σχετικά με τους αριθμούς Μπερνούλι και την σταθερά γ των Όιλερ-Μασερόνι. Ωστόσο τα υπόλοιπα μαθήματα τον άφηναν αδιάφορο. Έτσι, όταν αποφοίτησε από το σχολείο, δεν κατάφερε να συνεχίσει τις σπουδές του σε υψηλότερο επίπεδο. Φυσικά, η αγάπη του για τα μαθηματικά δεν υποχώρησε. Στον ελεύθερό του χρόνο εξακολουθούσε να μελετάει και να επινοεί δικά του θεωρήματα.

Από την Ινδία στην Αγγλία

Η πρώτη του επαφή με τον ακαδημαϊκό κόσμο των μαθηματικών ήρθε μετά το 1910, όταν ο Ραμανουτζάν γνώρισε τον ιδρυτή της Ινδικής Μαθηματικής Εταιρίας, Ραμασουάμι Άιερ. Ο Άιερ διάβασε τα τετράδια με τις σημειώσεις του νεαρού Ινδού και αμέσως εντυπωσιάστηκε. Αποφάσισε να τον συστήσει σε συναδέλφους του στην πόλη Μαντράς, όπου βρισκόταν το ομώνυμο πανεπιστήμιο. Το 1912 και το 1913 έστειλε κάποια από τα θεωρήματα του σε τρεις ακαδημαϊκούς στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ. Ο Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι, αναγνωρίζοντας το υψηλό επίπεδο της δουλειάς του, προσκάλεσε τον Ραμανουτζάν να τον επισκεφθεί και να συνεργαστούν στο Κέιμπριτζ. Μαζί, λοιπόν, ξεκίνησαν να μελετούν τα τετράδια του Ραμανουτζάν. Ο Χάρντι είχε ήδη παραλάβει 120 θεωρήματα από τον Ραμανουτζάν στα πρώτα δύο γράμματα της αλληλογραφίας τους, αλλά υπήρχαν πολλά περισσότερα πορίσματα και θεωρήματα για να βγουν στο φως μέσα στα τετράδιά του. Αν και ένας μικρός αριθμός από τα αποτελέσματα αυτά ήταν εσφαλμένα και μερικά ήδη γνωστά, οι περισσότερες από τις εργασίες του αποδείχθηκαν ορθές, με μερικά αποτελέσματα να είναι καινοτομίες. Ο Ραμανουτζάν είχε κερδίσει την εκτίμηση του Χάρντι και του Λίτλγουντ.

Ο Ραμανουτζάν (στη μέση) μαζί με άλλους καθηγητές του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ. Δεξιά στην εικόνα είναι ο Χάρντι.
(Πηγή: Wikipedia)

Στην διάρκεια της ζωής του, ο Ραμανουτζάν απέκτησε τους τίτλους του Εταίρου της Βασιλικής Εταιρίας καθώς και του Εταίρου του Κολεγίου Τρίνιτι στο Κέμπριτζ. Απεβίωσε το 1920, μόλις στην ηλικία των 32 ετών ταλαιπωρημένος από αρρώστιες, υποσιτισμό και πιθανόν υποφέροντας από μόλυνση στο συκώτι.

Η μαθηματική του κληρονομιά

Στην διάρκεια της σύντομης ζωής του, ο Ραμανουτζάν κατάφερε να αφήσει έργο που απαριθμεί σχεδόν 3.900 αποτελέσματα, κυρίως ταυτότητες και εξισώσεις. Διατύπωσε συμπεράσματα που ήταν τόσο πρωτότυπα, όσο και ιδιαίτερα αντισυμβατικά, όπως οι πρώτοι αριθμοί Ραμανουτζάν και η συνάρτηση θήτα Ραμανουτζάν, και ενέπνευσαν έναν τεράστιο αριθμό περαιτέρω ερευνών. Για παράδειγμα, ένας από τους πιο ενδιαφέροντες τύπους είναι η παρακάτω σειρά που ισούται με τον αντίστροφο του π:

(Πηγή: Wikipedia)

Η διαίσθησή του τον οδήγησε να ανακαλύψει μερικές, άγνωστες ως τότε, ταυτότητες, όπως η:

(Πηγή: Wikipedia)

Οι σειρές του Ραμανουτζάν για το π συγκλίνουν πάρα πολύ γρήγορα (εκθετικά) και αποτελούν τη βάση για μερικούς από τους πιο γρήγορους αλγόριθμους που χρησιμοποιούνται σήμερα για τον υπολογισμό του π. Είναι χαρακτηριστικό πως μερικές από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις του άργησαν πολύ να ενταχθούν στο ρεύμα των σύγχρονων μαθηματικών.

Τον Δεκέμβριο του 2011, αναγνωρίζοντας την συνεισφορά του στα μαθηματικά, η κυβέρνηση της Ινδίας διακήρυξε την ημέρα των γενεθλίων του Ραμανουτζάν (22 Δεκεμβρίου, σαν σήμερα) ως ετήσια «Εθνική Ημέρα των Μαθηματικών».

Όπερ Έδει Δείξαι

Η φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» δεν είναι απλώς ένας τυπικός επίλογος. Αποτελεί το σήμα κατατεθέν της μαθηματικής σκέψης. Με τη φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» (Ο.Ε.Δ.), που σημαίνει «το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί», έκλεινε ο Ευκλείδης (περ. 350-270 π.Χ.) κάθε θεώρημα στα «Στοιχεία». Στα Λατινικά η αντίστοιχη φράση είναι «Quod Erad Demonstrandum» (Q.E.D.). Στη φράση αυτή συνοψίζεται η πεμπτουσία των Μαθηματικών. Κάθε μαθηματική πρόταση, όσο προφανής κι αν φαίνεται, πρέπει να αποδειχθεί στηριζόμενη σε λογικά επιχειρήματα που οδηγούν με ασφάλεια στο συμπέρασμα. Τότε μόνο θα είναι έγκυρη και μπορεί να γίνει καθολικά αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα. Η διαδικασία της απόδειξης εισήχθη στα μαθηματικά από το Θαλή το Μιλήσιο (640-546 π.Χ.) και έκτοτε τα συνοδεύει απαρέγκλιτα στο ταξίδι τους μέσα στο χρόνο, καθιστώντας τα ισχυρά και απαλλάσσοντάς τα από υποκειμενικότητες…

 

📖Παραπομπές:

Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης, Γ., Μαρκάτης, Σ. & Σιδέρης. Π. (2001). Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' & Β' Ενιαίου Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β.

Γκουντουβάς, Σ. (2023). Γεωμετρικά Θέματα: 100+1 ασκήσεις Γεωμετρίας

Polster, B. (2009) Όπερ Έδει Δείξαι: Η Ομορφιά της Μαθηματικής Απόδειξης. Αλεξάνδρεια

POV: Όταν με μια στροφή χάνεις τον προσανατολισμό - Η ταινία του Möbius

Το βίντεο από το κανάλι Numberphile παρουσιάζει νέους τρόπους οπτικοποίησης της ταινίας του Möbius ως ένα βασικό αντικείμενο της τοπολογίας. Η ταινία του Möbius έχει εκπληκτικές ιδιότητες που δεν είναι αυτονόητες με την πρώτη ματιά. Αν την κόψεις κατά μήκος, δεν θα πάρεις δύο νέα κομμάτια, αλλά μια μακρύτερη ταινία με περισσότερες στροφές. Κι αν προσπαθήσεις να την κόψεις σε τρία κομμάτια; Μικρές αλλαγές στην κατασκευή οδηγούν σε απρόσμενα αποτελέσματα...

 

Μαθηματικά προσχολικής ηλικίας: Μαθαίνουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 5

«Γυρίζω και Μαθαίνω: Αριθμοί»… Ένα βιβλίο–παιχνίδι για την πρώτη γνωριμία με τους αριθμούς!

Τα μικρά χεράκια λατρεύουν να γυρίζουν, να τραβούν, να ανακαλύπτουν! Αυτό το χαρούμενο βιβλίο των εκδόσεων Τζιαμπίρης Πυραμίδα προσκαλεί τα παιδιά να μετρήσουν γατάκια, κοτοπουλάκια και άλλα ζωάκια μέσα από μια πολύ ευχάριστη και διαδραστική εμπειρία. Οι αριθμοί κρύβονται και αποκαλύπτονται με την περιστροφή του τροχού, ενισχύοντας τη φυσική περιέργεια και τη χαρά της ανακάλυψης.

Με απλές ερωτήσεις, χαρούμενες εικόνες και φωτεινά χρώματα, το βιβλίο βοηθά τα παιδιά να συνδέσουν τις ποσότητες με τα σύμβολα των αριθμών, καλλιεργώντας βασικές μαθηματικές δεξιότητες ήδη από τις πρώτες ηλικίες. Ιδανικό για γονείς και παιδαγωγούς που αναζητούν έναν παιγνιώδη τρόπο εισαγωγής των αριθμών στην καθημερινότητα των παιδιών, μέσα από το παιχνίδι και τη φαντασία!

Γρίφος: Κάτι τρέχει με τους δίπλα

Υπάρχουν τέσσερα σπίτια, τα οποία βρίσκονται στη σειρά. Σε κάθε σπίτι κατοικεί και ένας άνθρωπος: Ο Λάκης, ο Μάκης, ο Σάκης και ο Τάκης. Καθένας από αυτούς έχει και έναν διαφορετικό αριθμό βιβλίων: 1, 2, 3, ή 4 βιβλία. Τα μόνα στοιχεία που έχουμε είναι τα εξής:

 

1. Ο Λάκης ζει στο πρώτο σπίτι.
2. Ο Σάκης δεν ζει ακριβώς δίπλα στον Λάκη.
3. Ο άνθρωπος που ζει στο τρίτο σπίτι έχει 2 βιβλία.
4. Ο άνθρωπος που ζει δίπλα στον Λάκη έχει 4 βιβλία.
5. Ο Μάκης ζει στο σπίτι που βρίσκεται ακριβώς δίπλα στον Τάκη.
6. Ο άνθρωπος που ζει στο τέταρτο σπίτι έχει λιγότερα βιβλία από τον διπλανό του.
7. Ο Τάκης έχει περισσότερα βιβλία από τον Λάκη.

 

Πόσα βιβλία έχει ο καθένας;

.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=

Μόλις λύσετε αυτόν τον γρίφο, σας παραπέμπω να λύσετε και μια πιο δύσκολη εκδοχή του, που είναι ο γνωστός γρίφος του Αϊνστάιν. 

"Παράλληλοι Κόσμοι"

Οι «Παράλληλοι Κόσμοι» είναι ένα διαστημικό ταξίδι στα πέρατα της φαντασίας, στις μαύρες τρύπες, στις χρονομηχανές, στα εναλλακτικά σύμπαντα και τον πολυδιάστατο χώρο. Είναι ένα εκθαμβωτικό πορτρέτο της θυελλώδους επανάστασης που σαρώνει το τοπίο της σημερινής κοσμολογίας. Το Σύμπαν μας μοιάζει με κοσμική φυσαλίδα που αναδεύεται αιώνια μέσα σε έναν ωκεανό από σύμπαντα-φυσαλίδες. Ποια είναι η μοίρα της; Μήπως η εξαφάνισή της σημάνει το τέλος του δικού μας Σύμπαντος; Γύρω της - σε απόσταση χιλιοστών - γίνονται συνεχώς Μεγάλες Εκρήξεις, μέσα από τις οποίες γεννιούνται νέα, παράλληλα (με το δικό μας) σύμπαντα. Άραγε, μετά από δισεκατομμύρια χρόνια - εκείνη τη μακάβρια εποχή - λίγο πριν το Σύμπαν μας καταλήξει, ψυχρό και σκοτεινό, στο παντοτινό τέλος του, θα μπορούσε η ανθρωπότητα να διαιωνίσει την ύπαρξή της μετοικώντας σε ένα άλλο, γειτονικό σύμπαν; Η ιδέα των παράλληλων Κόσμων και η θεωρία χορδών που ερμηνεύει την ύπαρξή τους αντιμετωπίζονταν κάποτε με καχυποψία, ενώ οι επιστήμονες που την υπερασπίζονταν θεωρούνταν μυστικιστές, τρελοί ή τσαρλατάνοι. Σήμερα, οι φυσικοί την υποστηρίζουν με πάθος και μάλιστα υιοθετούν την πρόσφατη εκδοχή της, τη θεωρία-Μ, ως τη μόνη σωστή θεωρία, την πιο κομψή και απλή απάντηση στο ύψιστο ερώτημα: «Τι υπήρχε πριν από το Big Bang;»

Τα μαθηματικά μάς διδάσκουν την υπομονή, την επιμονή και την ταπεινότητα!

Γράφει ο Alex Korchinski

 

Πηγή εικόνας

Φέρτε στο μυαλό σας έναν μαθηματικό. Τι βλέπετε;

Ας κάνω την αρχή με μια αρκετά κοινή εικόνα. Είναι αργά το βράδυ. Μία φιγούρα είναι σκυμμένη πάνω από ένα γραφείο και γράφει βιαστικά σε ένα τετράδιο. Ο χώρος είναι γεμάτος από σκόνη γραφίτη και ψήγματα γόμας και υπάρχει έντονη σωματική οσμή. Αριθμοί και σύμβολα λάμπουν στο φως και μία αριθμομηχανή ξεκουράζεται κοντά σε μία στοίβα από βιβλία.

Αυτό που μόλις περιέγραψα δεν είναι απλώς ένα άδικο στερεότυπο. Τα μαθηματικά προσελκύουν αυτούς τους σκοτεινούς τύπους, που θα μπορούσαν άνετα να ζουν σε μία σπηλιά. (Προφανώς ξέρω, γιατί παρακολούθησα διαλέξεις τους). Οπότε, όταν οι άνθρωποι ανακαλύπτουν ότι έχω σπουδάσει εφαρμοσμένα μαθηματικά, καταλαβαίνω γιατί ανασηκώνουν το φρύδι με απορία, λες και ανήκουμε σε διαφορετικά είδη.

Η πραγματικότητα, όμως, είναι λιγότερο εξωτική: Προτίμησα να σπουδάσω μαθηματικά, διότι ήμουν καλός σε αυτό και σκέφτηκα ότι οι δεξιότητές μου στην αριθμητική θα ενίσχυαν τις προοπτικές της καριέρας μου. Όπως αποδείχθηκε, δεν ήμουν αρκετά καλός. Ο Euler και οι ιδιοτιμές με διέλυσαν. Και παρόλο που η εξοικείωση με τη στατιστική αποδείχθηκε οριακά χρήσιμη, ποτέ μου δε χρησιμοποίησα το 99% των μεθόδων, των αποδείξεων και των θεωρημάτων που με τόσο κόπο μελετούσα εκείνα τα χρόνια.

Υπήρξαν τόσες πολλές στιγμές που ευχόμουν να είχα διαλέξει μια διαφορετική σχολή. Κάτι πιο εύκολο. Κάτι λιγότερο επώδυνο. Ορισμένες φορές, μίσησα τα μαθηματικά. Κι όμως, έξι χρόνια μετά, είμαι τόσο ευγνώμων που δεν τα παράτησα. Οι λόγοι δεν έχουν καμία απολύτως σχέση με τους αριθμούς. Έχουν να κάνουν με τη ζωή.

 

📌1. Δεν περιμένω να βρω την απάντηση στην πρώτη προσπάθεια.

Σαν παιδί, πάντα πίστευα ότι στα μαθηματικά ήμουν άπιαστος. Αν η απάντησή μου δεν ταίριαζε με τις λύσεις του βιβλίου, πάντα κατηγορούσα το βιβλίο. «Θα είναι τυπογραφικό λάθος», μονολογούσα. Φυσικά, δεν ήταν ποτέ τυπογραφικό λάθος. Πάντα εγώ έσφαλλα.

Σαν φοιτητής, ανακάλυψα ότι η πρώτη λανθασμένη απάντηση ήταν μια σημαντική στιγμή – ένα απαραίτητο στραβοπάτημα στον δρόμο προς την αλήθεια. Αυτή η αντίληψη ριζώθηκε τόσο βαθιά μέσα μου, που αν έβρισκα τη λύση με την πρώτη προσπάθεια, σκεφτόμουν «πολύ τυχερός είμαι σήμερα».

Μπορεί να ακούγεται απαισιόδοξο, είναι όμως η αλήθεια. Ποτέ δεν απογοητευόμουν, γιατί απλώς ποτέ δεν περίμενα την εύκολη νίκη. Και αν κάποτε πετύχαινα τον στόχο με το πρώτο βέλος, εκπλησσόμουν ευχάριστα. Με τον καιρό έμαθα να αποδέχομαι τις αποτυχημένες προσπάθειες, και ως εκ τούτου έγινα πολύ πιο υπομονετικός.

 

📌2. Μπορώ να υπομένω τεράστιες ποσότητες εκνευρισμού.

Η έλλειψη έμπνευσης σε έναν συγγραφέα δεν έχει κανένα κοινό με ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα και έχω αντέξει και τα δύο. Το συγγραφικό κενό συνήθως καταλήγει στη σκέψη ότι δεν είσαι αρκετά καλός για αυτό που προσπαθείς. Με τα μαθηματικά, είναι σαν όλο το σύμπαν να κοροϊδεύει την ανικανότητά σου.

Όταν πολλαπλασίαζα πίνακες, τραβούσα τα μαλλιά μου και τα έβλεπα να κυματίζουν πάνω σε χιλιοσβησμένες σελίδες χαρτιού. Αυτό σπάνια με βοηθούσε να πλησιάσω στη λύση, οπότε δικαίως σκεφτόμουν, «Ωραία, ποιο το νόημα όλου αυτού;».

Θυμάμαι τον βοηθό καθηγητή στο μάθημα της γραμμικής άλγεβρας να λέει κάποτε, «τα Μαθηματικά είναι πόνος». Συμφωνώ. Το να σπουδάζεις μαθηματικά σε φέρνει στα όρια του μαζοχισμού. Το μυστικό είναι να δέχεσαι τον πόνο με χαρά. Έμαθα να ευχαριστιέμαι τον εκνευρισμό, να τον αντιμετωπίζω σαν ένα παιχνίδι, όπου εγώ θα ήμουν πάντα ο τελικός νικητής.

Ως αποτέλεσμα, η ανοχή μου στην αγανάκτηση είναι πολύ υψηλότερη. Είμαι πεπεισμένος ότι οι σπόροι της υπομονής και της αντοχής φυτεύτηκαν και βλάστησαν μέσα σε εκείνα τα τετράδια μαθηματικών.

 

📌3. Αντιμετωπίζω τα προβλήματα πολύπλευρα.

Όταν ήμουν παιδί, ο πατέρας μου είχε μια κόκκινη εργαλειοθήκη γεμάτη με κλειδιά, κατσαβίδια και διάφορα άλλα μαραφέτια. Ήταν τόσο μεγάλη, που για να τη σηκώσω, έπρεπε να την κρατήσω και με τα δύο χέρια.

Το να σπουδάζω μαθηματικά, ήταν σαν να συντηρώ αυτή την εργαλειοθήκη. Κάθε φορά που μάθαινα κάτι καινούργιο, αυτή η γνώση έμπαινε μέσα στο μεγάλο κόκκινο κουτί. Ποιος να ήξερε πότε θα μου φαινόταν χρήσιμη; Οι βαθιά θαμμένες μέθοδοι θα μπορούσαν κάλλιστα να είναι το καρυδάκι που θα χρειαζόμουν αργότερα.

Η επιστήμη των μαθηματικών στηρίζεται στη χρήση του σωστού εργαλείου τη σωστή στιγμή. Η τέχνη όμως είναι να γνωρίζεις εκ των προτέρων ποιο εργαλείο να πιάσεις κάθε φορά. Το πρόβλημα είναι ότι όταν ανακαλύπτεις συνεχώς μυστηριώδη αντικείμενα, είναι δύσκολο να αντιληφθείς ποιο εργαλείο ταιριάζει.

Σταδιακά έγινα επιδέξιος στο να δοκιμάζω κάθε είδους τακτική, συνήθως πελεκώντας ένα πρόβλημα από διαφορετικές γωνίες, ελπίζοντας σε μία σημαντική ανακάλυψη. Η χαρά που παίρνεις όταν λύνεις ένα πρόβλημα είναι αυτή που με κρατάει, και υπάρχουν λίγα μόνο καλύτερα συναισθήματα, από όταν το κλειδί επιτέλους ταιριάζει και η κλειδαριά ανοίγει.

 

📌4. Πάντα ελέγχω τη δουλειά μου.

Το να ξέρεις πώς να λύνεις προβλήματα είναι το πρώτο βήμα. Το δεύτερο είναι να μην ξεγελιέσαι, νομίζοντας ότι γνωρίζεις περισσότερα απ’ όσα όντως γνωρίζεις.

Ο επηρμένος μαθηματικός είναι και ο απρόσεκτος. Οι σωστοί μαθηματικοί είναι σκεπτικιστές, είναι διστακτικοί ακόμα και προς τα ίδια τους τα ένστικτα. Ακόμα και αν ήξερα πώς να βρω τη λύση, πάντα θα προχωρούσα με προσοχή. Μία χαμένη υποδιαστολή και τα πάντα θα κατέρρεαν.

Κι όταν μάλιστα το έλυνα, πάντα ήλεγχα κάθε βήμα προσεκτικά, προσπαθώντας να εντοπίσω προβληματικές αιτιολογήσεις ή αβίαστα λάθη. Πολλές φορές, έλυνα το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο, ώστε να βεβαιωθώ ότι θα καταλήξω στο ίδιο αποτέλεσμα.

Τα μαθηματικά μού υπενθυμίζουν ότι δεν είμαι άτρωτος – επιρρεπής σε κάθε είδους αναποδιά και στραβοπάτημα. Ποτέ δεν πρέπει να βιάζομαι, γιατί το να περπατάς με προσοχή είναι καλύτερο από το να τρέχεις και να σκοντάφτεις. Και το ότι έφτασα απλώς σε μία απάντηση, δε συνεπάγεται απαραίτητα ότι είναι και η σωστή.

 

📌5. Εξασκώ την επιμονή μου.

Ίσως να έχετε ακούσει το στερεότυπο ότι οι Ασιάτες είναι καλοί στα μαθηματικά. Ας υποθέσουμε ότι έχω ένα μεγάλο δείγμα και, σίγουρα, ορισμένοι Ασιάτες φοιτητές μαθηματικών είναι πολύ έξυπνοι. Ή, τουλάχιστον, εξυπνότεροι από εμένα. Δηλαδή υπάρχει κάποιο γονίδιο που προικίζει τους Ασιάτες με ταλέντο στα μαθηματικά; Πολύ αμφιβάλλω.

Μήπως οι Ασιάτες φοιτητές μεγάλωσαν έτσι, ώστε να είναι πιο επίμονοι από τους Αμερικανούς; Ίσως.

Σε μία διάσημη έρευνα, δόθηκε σε αμφιθέατρα πρωτοετών Αμερικανών και Ιαπώνων φοιτητών ένα αδύνατο πρόβλημα μαθηματικών. Οι Αμερικανοί φοιτητές τα παράτησαν σε λιγότερο από 30 δευτερόλεπτα, ενώ οι Ιάπωνες προσπαθούσαν για περίπου μία ώρα, πριν οι επιτηρητές τούς σταματήσουν, επιβεβαιώνοντας πως πρόκειται για πρόβλημα χωρίς λύση. (Πόσο βάναυσο!) Η μεγάλη διαφορά έγκειται στο ότι οι Ασιατικές κουλτούρες δίνουν προτεραιότητα στην εξάσκηση και την επιμονή στην εκπαίδευση, ενώ παράλληλα αποδέχονται ότι οι δυσκολίες είναι ένα μεγάλο κομμάτι της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Στον Δυτικό κόσμο, η ιδέα της έμφυτης ευφυΐας προωθείται και επαινείται, ενώ υπονομεύεται η σημασία της δυσκολίας στην εκπαίδευση. Θα έλεγα ότι χαϊδεύουμε τα παιδιά μας. Δώστε σε έναν Αμερικανό μαθητή ένα πρόβλημα μαθηματικών και οι πιθανότητες λένε ότι θα παραπονεθεί κλαψουρίζοντας, βάζοντας μπροστά τη γνωστή κασέτα: «Μα πού θα μου χρησιμεύσει αυτό στον πραγματικό κόσμο;».

Το να απαντήσεις άμεσα σε αυτή την ερώτηση είναι λάθος. Πότε θα χρειαστεί να παραγοντοποιήσεις ένα πολυώνυμο «στον πραγματικό κόσμο»; Ίσως ποτέ, αγαπητό μου παιδί. Ειδικά με αυτή τη στάση.

Πότε όμως θα χρειαστεί να αντιμετωπίσεις ένα πρόβλημα που απαιτεί συγκέντρωση για πάνω από 30 δευτερόλεπτα; Κάθε, μα κάθε φορά!!!

Είμαι τόσο τυχερός που τα μαθηματικά με ώθησαν στο να εξασκήσω την επιμονή μου. Απέδωσε τεράστιους καρπούς αργότερα, παρόλο που ήμουν αρκετά ανώριμος, ώστε να το αναγνωρίσω τότε.

 

📌6. Ξέρω τι με κάνει χαρούμενο (και τι όχι).

Το μεγαλύτερό μου μάθημα από τα μαθηματικά ήταν και το πιο παράλογο: δεν είμαι φτιαγμένος γι’ αυτό. Παρόλο που σπούδαζα εφαρμοσμένα μαθηματικά ως 19χρονος, απογοητεύτηκα από την πραγματική εφαρμογή τους. Εγώ ήθελα να βγω έξω στον κόσμο και να κάνω πράγματα, όχι να είμαι βυθισμένος σε σετ ασκήσεων.

Έτσι, άρχισα να τα παρατάω. Στις εξετάσεις απέτυχα. Παρέδιδα μισοτελειωμένες εργασίες, αν παρέδιδα κάτι εντελώς. Η μόνη φορά που έβλεπα “A” ήταν στην αρχή του ονόματός μου.

Ήμουν απόλυτα ικανοποιημένος με το να βουλιάζω στη μαθηματική μετριότητα.

Και αυτό με τρομοκρατούσε. Διότι δεν μπορούσα να αγνοήσω αυτή τη φωνή μέσα μου που φώναζε: Δεν είσαι πλασμένος για αυτό.

Η αλήθεια είναι ότι τα μαθηματικά δε με παρακινούσαν. Το στομάχι μου έσφιγγε, όταν έμπαινα σε ένα αμφιθέατρο και περνούσα δίπλα από έναν πίνακα κιμωλίας. Μετά από κάθε εξεταστική, με τις μαθηματικές μεθόδους να κουδουνίζουν στο κεφάλι μου σαν ντέφι μέσα σε πλυντήριο, δεν μπορούσα παρά να σκέφτομαι, «Ωραία… Και τώρα τι να κάνω με αυτά;».

Όσο πλησίαζε η αποφοίτηση, έθεσα έναν στόχο για την καριέρα μου: να μην τρέμω κάθε πρωί πηγαίνοντας στη δουλειά, όπως όταν πήγαινα στο αμφιθέατρο. Τα χρήματα δε θα μπορούσαν ποτέ να εξισορροπήσουν αυτό το συναίσθημα.

Όταν λοιπόν αποφοίτησα, έκλεισα τα εγχειρίδια μαθηματικών μια για πάντα. Ανακάλυψα νέα πάθη, απέκτησα νέες δεξιότητες και ωρίμασα σε διαφορετικούς τομείς. Μετά από έξι χρόνια καριέρας, μπορώ να πω ότι το να είμαι άνετος με αριθμούς και δεδομένα αποδείχθηκε χρήσιμο, αλλά το πιο ανεκτίμητο είναι οι αξίες που μου προσέφεραν τα μαθηματικά – η υπομονή, η προσοχή στη λεπτομέρεια, η ταπεινότητα και η επιμονή. Αυτό ήταν το πραγματικό κέρδος.

Μετά από όλον αυτόν τον πόνο, το άγχος και τον εκνευρισμό, ίσως να ήταν καθαρτικό να βουτήξω όλα τα βιβλία μαθηματικών που είχα στην κηροζίνη και να τα κάψω. Αντιθέτως, τα κράτησα. Είναι όλα στο τελευταίο συρτάρι. Παρόλο που δεν τα έχω βγάλει ποτέ από εκεί, μου αρέσει να τα έχω πρόχειρα κοντά μου.

Για αρκετό καιρό, πίστευα ότι αυτό είναι το σύνδρομο του συλλέκτη. Πρόσφατα, όμως, μετακόμισα και οργάνωσα τη βιβλιοθήκη μου από πάνω προς τα κάτω: πρώτα τα μυθιστορήματα, μετά η αφηγηματική μυθοπλασία και στη μέση τα απομνημονεύματα. Θα ορκιζόμουν ότι άκουσα το ξύλο να τρίζει και τα ράφια να γλιστρούν προς τα εμπρός. Η βιβλιοθήκη ήταν πολύ βαριά στην κορυφή.

Χρειαζόμουν εκείνη την τελευταία σειρά από βιβλία μαθηματικών. Ήταν η άγκυρά μου. Το στήριγμά μου. Το θεμέλιο όλων όσα έμαθα, και μια γερή βάση για όσα πρόκειται να έρθουν.

 

Γρίφος: Δίποδα, τρίποδα και τετράποδα

Adriaen van Ostade - "Peasants in an interion" (1661)

Σε ένα δωμάτιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με τρία πόδια και κάποιες πολυθρόνες με τέσσερα πόδια. Όταν σε κάθε σκαμνί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωπος, το συνολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι 39. Πόσα σκαμνιά και πόσες πολυθρόνες υπάρχουν; 

Πηγή γρίφου:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 1 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 1999

Όταν τα Μαθηματικά γίνονται... τρομακτικά!👻

Πηγή εικόνας: Facebook|Math Facts Group 

 

Πηγή εικόνας: Instagram|The grapher