Μαθηματικοί γρίφοι για... δυνατούς λύτες!

Για σήμερα το «eis to apeiron» προτείνει δύο πρωτότυπους γρίφους αυξημένης δυσκολίας, που έστειλε ο συνάδελφος Μιχάλης Ζαρτούλας.

1. Να βρείτε το πλήθος των σύνθετων αριθμών που δεν διαιρούνται με το 2 ή το 3 ή το 5, αν γνωρίζετε ότι είναι μικρότεροι του 10.000.
Σημείωση: Μέχρι το 10.000 υπάρχουν 1.229 πρώτοι αριθμοί.

 

2. Ο Κώστας, ο Γιώργος, ο Γιάννης και ο Νίκος είναι τέσσερις κρατούμενοι για ανάκριση. Ο καθένας τους λέει αλήθεια στο 1/3 των περιπτώσεων. Επίσης, γνωρίζουμε ότι: Ο Νίκος είπε ότι ο Γιάννης είπε ότι ο Γιώργος είπε ότι ο Κώστας είπε ψέματα. Πόσες φορές πιο πιθανό είναι ο Κώστας να είπε αλήθεια από το να είπε ψέματα;

 

Θα περιμένουμε τις απαντήσεις στα σχόλια!

Η δεύτερη γυναίκα στην ιστορία που παίρνει Μετάλλιο Fields

Η 37χρονη Ουκρανή μαθηματικός Μαρίνα Βιαζόφσκα του Ομοσπονδιακού Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Λωζάνης (EPFL) είναι μία από τους τέσσερις μαθηματικούς που ανακοινώθηκε από τη Διεθνή Μαθηματική Ένωση ότι τιμώνται με το Μετάλλιο Fields για το 2022. Πρόκειται για μία από τις σημαντικότερες διεθνείς διακρίσεις στο πεδίο των Μαθηματικών, την οποία μερικοί θεωρούν αντίστοιχη του Νόμπελ για επιστήμονες έως 40 ετών (το άλλο μεγάλο βραβείο Μαθηματικών είναι το Abel).

Η Βιαζόφσκα είναι η δεύτερη γυναίκα από τα 64 άτομα που μέχρι σήμερα έχουν πάρει το Μετάλλιο Fields , το οποίο άρχισε να δίνεται ανά τετραετία από το 1936. Η μοναδική έως τώρα γυναίκα μαθηματικός με το εν λόγω μετάλλιο ήταν η ιρανικής καταγωγής καθηγήτρια του Πανεπιστημίου Στάνφορντ, Μαριάμ Μιρζαχανί, η οποία βραβεύτηκε το 2014, αλλά το 2017 έφυγε από τη ζωή.

Οι άλλοι τρεις φετινοί νικητές είναι ο 35χρονος Τζέιμς Μέιναρντ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, ο 36χρονος Ούγκο Ντουμινίλ-Κοπέν του Πανεπιστημίου της Γενεύης και ο 39χρονος Τζουν Χου του Πανεπιστημίου Πρίνστον.

Η Βιαζόφσκα το 2016 παρουσίασε τον πιο αποτελεσματικό τρόπο να χωράνε όσο γίνεται περισσότερες σφαίρες σε χώρους με οκτώ διαστάσεις, λύνοντας το πρόβλημα στοίβαξης σφαιρών (sphere-packing) στην 8^η διάσταση και έπειτα, σε συνεργασία με άλλους, στην 24^η. Προηγουμένως, το πρόβλημα είχε αποδειχθεί πως λύνεται μόνο για τρεις ή λιγότερες διαστάσεις και η απόδειξη για τις τρεις διαστάσεις (η εικασία του Κέπλερ) περιελάμβανε μακροσκελείς υπολογισμούς από ηλεκτρονικό υπολογιστή. Εν αντιθέσει, η απόδειξη της Βιαζόβσκα για 8 και 24 διαστάσεις είναι «εντυπωσιακά απλή». Από την άλλη, ο Μέιναρντ προώθησε την κατανόηση των κενών ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς, ο Κοπέν τη θεωρία των μεταβατικών φάσεων (π.χ. της μετατροπής του νερού σε πάγο) στον τομέα της στατιστικής φυσικής, ενώ ο Χου τιμήθηκε, μεταξύ άλλων, για την καινοτόμο χρήση της γεωμετρίας στο πεδίο της συνδυαστικής.

Η απονομή του βραβείου είχε προγραμματιστεί, αρχικά, να γίνει στο πλαίσιο του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας, αλλά λόγω της ρωσικής εισβολής στην Ουκρανία, η τελετή και η απονομή των μεταλλίων από χρυσό 14 καρατίων μεταφέρθηκε στο Ελσίνκι της Φινλανδίας. Διευκρινίστηκε, πάντως, ότι η επιλογή των τεσσάρων βραβευθέντων είχε γίνει πριν ξεκινήσει ο πόλεμος, αλλά ανακοινώθηκε τώρα.

Γρίφος: Τον θησαυρό ή την τίγρη;

 

Ένας βασιλιάς οδηγεί έναν κρατούμενο μπροστά από δύο πόρτες. Η πόρτα Νο1 γράφει: "ΜΕΣΑ Σ' ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΘΗΣΑΥΡΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΝΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Η πόρτα Νο2 γράφει: "ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΔΩΜΑΤΙΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΘΗΣΑΥΡΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΑΛΛΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Ο βασιλιάς λέει στον κρατούμενο ότι η μία από τις δύο επιγραφές γράφει την αλήθεια, ενώ η άλλη ψέματα. Αν ο κρατούμενος ανοίξει την πόρτα με το θησαυρό, θα ελευθερωθεί και θα φύγει με το θησαυρό δικό του, ενώ αν ανοίξει την πόρτα με την τίγρη, θα φαγωθεί. 

Ποια πόρτα πρέπει να ανοίξει ο κρατούμενος αν θέλει να ζήσει;

Μια νέα εξίσωση που περιγράφει κάθε... αβγό!

Πώς ένα από τα πιο συνηθισμένα αντικείμενα της φύσης οδήγησε σε ένα απρόσμενα δύσκολο πρόβλημα γεωμετρίας

Όταν παίρνουμε ένα αβγό από το ψυγείο, μάλλον σκεφτόμαστε το γεύμα μας και όχι τα Μαθηματικά… Εκτός ίσως από κάποιους επιστήμονες! Γιατί το σχήμα του αβγού αποτελεί ένα ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα εδώ και δεκαετίες: Πώς μπορούμε να περιγράψουμε με έναν μαθηματικό τύπο το περίγραμμα ενός αβγού; Και ακόμη:

Μπορούμε να βρούμε έναν ενιαίο τύπο που να περιγράφει τα αβγά όλων των πτηνών;

Το 2021 οι Narushin, Romanov και Griffin πρότειναν μια νέα μαθηματική λύση στο πρόβλημα, σε εργασία τους με τίτλο “Egg and math: introducing a universal formula for egg shape”, που δημοσιεύθηκε στο Annals of the New York Academy of Sciences.

Για να φτάσουμε, όμως, στην καθολική εξίσωση, πρέπει πρώτα να ακολουθήσουμε μια μικρή μαθηματική διαδρομή…

Τέσσερα διαφορετικά είδη αβγών

Παρόλο που στο μυαλό μας το «σχήμα αβγού» είναι συνήθως ένα συγκεκριμένο ωοειδές σχήμα, στη φύση υπάρχει μεγάλη ποικιλία. Οι ερευνητές, ακολουθώντας την ταξινόμηση του Nishiyama, διακρίνουν τέσσερις βασικές μορφές:

• κυκλική, που αντιστοιχεί σε σχεδόν σφαιρικό αβγό
• ελλειπτική, που αντιστοιχεί σε ελλειψοειδές
• ωοειδής
• απιοειδής ή αχλαδόμορφη

Τα τρία πρώτα σχήματα μπορούν να περιγραφούν σχετικά φυσικά με γνωστές γεωμετρικές καμπύλες. Το πρόβλημα αρχίζει με το τέταρτο.

Ένα απιοειδές αβγό είναι πολύ πιο φαρδύ προς τη μία πλευρά και καταλήγει σε έντονα «μυτερό» άκρο. Δεν είναι απλώς μια έλλειψη που έχει «τραβηχτεί» λίγο προς τη μία πλευρά. Και ακριβώς αυτά τα αβγά ήταν ο λόγος που οι παλαιότερες μαθηματικές περιγραφές δεν μπορούσαν να θεωρηθούν πραγματικά καθολικές.

Από τον κύκλο στο αβγό

Για να καταλάβουμε την ιδέα των ερευνητών, ας ξεκινήσουμε από κάτι πολύ πιο απλό.

Ο κύκλος περιγράφεται από την εξίσωση:

\(x^2+y^2=r^2\)

Αν θέλουμε να κάνουμε τον κύκλο «μακρύτερο» προς μία κατεύθυνση, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την κοινή ακτίνα με δύο διαφορετικούς ημιάξονες. Παίρνουμε έτσι την εξίσωση της έλλειψης:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Έχουμε λοιπόν την πρώτη μετάβαση: κύκλος → έλλειψη

Αλλά ξέρουμε ότι το αβγό δεν είναι απλώς μια έλλειψη. Η μία πλευρά του είναι συνήθως πιο «στρογγυλεμένη» και η άλλη πιο «μυτερή». Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο να μετακινήσουμε την κατακόρυφη διεύθυνση του σχήματος, ώστε να δημιουργήσουμε ασυμμετρία. Εδώ εμφανίζεται το μοντέλο του Γερμανού μηχανικού Hügelschäffer.

Η εξίσωση του Hügelschäffer

Οι Narushin και οι συνεργάτες του χρησιμοποιούν ως αφετηρία το μοντέλο του Hügelschäffer, το οποίο μπορεί να περιγράψει τα κυκλικά, ελλειπτικά και ωοειδή αβγά, όπως το συνηθισμένο αβγό της κότας.

Η εξίσωση γράφεται:

όπου:

• L είναι το μήκος του αβγού
• B είναι το μέγιστο πλάτος
• x είναι η οριζόντια θέση
• y είναι η απόσταση από τον οριζόντιο άξονα μέχρι το περίγραμμα
• w είναι μια παράμετρος που περιγράφει τη μετατόπιση του κατακόρυφου άξονα που περνά από το σημείο μέγιστου πλάτους σε σχέση με το μέσο του αβγού.

Το \(\plusminus\) υπάρχει επειδή για κάθε θέση x έχουμε δύο σημεία του περιγράμματος: ένα πάνω από τον άξονα των x και ένα κάτω από αυτόν.

Και εδώ συμβαίνει κάτι πολύ όμορφο: Αν \(L=B\), το σχήμα γίνεται κύκλος. Αν \(w=0\), το σχήμα γίνεται έλλειψη.

Με κατάλληλες τιμές του w, μπορούμε να πάρουμε διάφορα ωοειδή σχήματα. Έτσι έχουμε μια δεύτερη σειρά μεταβάσεων: κύκλος → έλλειψη →  ωοειδές

Το αβγό που δεν χωρά στην εξίσωση

Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε το w όλο και μικρότερο. Το ωοειδές σχήμα γίνεται ολοένα και πιο μυτερό. Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι, αν συνεχίσουμε αρκετά, θα φτάσουμε και στα απιοειδή (αχλαδόμορφα) αβγά. Αλλά δεν συμβαίνει αυτό!

Το μοντέλο του Hügelschäffer έχει έναν περιορισμό: η παράμετρος w δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Οι ερευνητές δείχνουν ότι, αν προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο, η καμπύλη που προκύπτει παύει να μοιάζει με πραγματικό αβγό. Έτσι, τα απιοειδή αβγά παραμένουν έξω από το μοντέλο.

Και εδώ βρίσκεται το πραγματικό μαθηματικό πρόβλημα της εργασίας…

Πώς περιγράφουμε το σχήμα του απιοειδούς αβγού;

Οι ερευνητές δεν εγκαταλείπουν το μοντέλο του Hügelschäffer. Αντίθετα, προσπαθούν να κατασκευάσουν ένα δεύτερο μοντέλο, ειδικά για τα απιοειδή αβγά. Μετά από μαθηματικούς υπολογισμούς καταλήγουν στην εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να δώσει το χαρακτηριστικό πιο «κωνικό», αχλαδόμορφο περίγραμμα.

Έχουμε λοιπόν πλέον δύο καμπύλες: την καμπύλη του Hügelschäffer, που περιγράφει το κλασικό ωοειδές σχήμα και την καινούργια καμπύλη, που περιγράφει το απιοειδές.

Αλλά τώρα εμφανίζεται ένα ακόμη πιο ενδιαφέρον ερώτημα: Και τι γίνεται με τα αβγά που βρίσκονται ανάμεσα;

Φανταστείτε ότι σχεδιάζουμε τις δύο καμπύλες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Θα υπάρχει μια περιοχή ανάμεσα στις δύο. Τι γίνεται, λοιπόν, με ένα πραγματικό αβγό που βρίσκεται κάπου ανάμεσα στο κανονικό ωοειδές και στο καθαρά απιοειδές σχήμα;

Οι ερευνητές ορίζουν τότε τη διαφορά: \(y=y_H-y_c\), όπου \( y_H \) είναι η τιμή από το μοντέλο του Hügelschäffer και \( y_c\) η αντίστοιχη τιμή από το απιοειδές μοντέλο. Αυτή η διαφορά αποτελεί ουσιαστικά ένα μέτρο του πόσο «μυτερό» είναι το αβγό. Όταν η διαφορά είναι μηδέν, έχουμε το κλασικό ωοειδές. Όταν παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή, προσεγγίζουμε το κλασικό απιοειδές σχήμα.

Και τώρα οι ερευνητές κάνουν το αποφασιστικό βήμα: κατασκευάζουν μια συνάρτηση που συμπληρώνει όλη την περιοχή ανάμεσα στα δύο μοντέλα. Αυτό τους οδηγεί στην τελική καθολική εξίσωση.

Η «καθολική εξίσωση» του αβγού

Η τελική σχέση που ανακάλυψαν οι ερευνητές είναι η εξής:

 

Πρόκειται δηλαδή για ένα παραμετρικό μοντέλο που περιλαμβάνει το τμήμα του μοντέλου του Hügelschäffer και χρησιμοποιεί τέσσερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά:

• L: το συνολικό μήκος του αβγού,
• B: το μέγιστο πλάτος,
• w: η μετατόπιση του άξονα του μέγιστου πλάτους,
• \(D_{L/4}\): η διάμετρος του αβγού σε σημείο που βρίσκεται σε απόσταση \(\frac{L}{4}\) από το μυτερό άκρο.

Μετρώντας λοιπόν αυτά τα χαρακτηριστικά σε ένα πραγματικό αβγό, μπορούμε να προσδιορίσουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και να ανακατασκευάσουμε το περίγραμμά του.

Αυτό είναι ίσως το πιο εντυπωσιακό σημείο της όλης ιστορίας. Έχουμε ένα πραγματικό αντικείμενο, με ένα περίπλοκο και ακανόνιστο περίγραμμα. Τοποθετούμε νοητά ένα σύστημα συντεταγμένων πάνω του. Μετράμε τα L, B, w και \(D_{L/4}\) και στη συνέχεια τα Μαθηματικά κάνουν την υπόλοιπη δουλειά!

Η παραπάνω συνάρτηση μάς δίνει, για κάθε x, την αντίστοιχη τιμή του y. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για όλες τις θέσεις, παίρνουμε μια καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι το μαθηματικό περίγραμμα του αβγού. Το σημαντικό είναι ότι η ίδια γενική εξίσωση μπορεί θεωρητικά να κινηθεί σε ολόκληρο το φάσμα: σφαιρικό, ελλειπτικό, ωοειδές, απιοειδές.

Οι συγγραφείς δοκίμασαν το μοντέλο και σε απιοειδή αβγά διαφορετικών σχημάτων, όπως είναι αυτά του βασιλικού πιγκουίνου ή πολλών παρυδάτιων πτηνών, πετυχαίνοντας άλλη μία συνάντηση των Μαθηματικών με τη Βιολογία. Οι συγγραφείς βέβαια δεν ισχυρίζονται ότι η εξίσωση αναπαριστά κάθε σημείο του περιγράμματος κάθε πραγματικού αβγού με απόλυτη ακρίβεια. Αναγνωρίζουν ότι τα φυσικά αντικείμενα είναι πολύ πιο ποικίλα από τα ιδανικά μαθηματικά σχήματα.

Φυσικά, ο στόχος της μαθηματικής μοντελοποίησης δεν είναι πάντα να αντιγράψει κάθε μικροσκοπική ατέλεια της πραγματικότητας. Συχνά είναι να βρει ένα απλό και χρήσιμο μαθηματικό αντικείμενο που συλλαμβάνει τη βασική δομή ενός πραγματικού φαινομένου μέσα από την τεράστια ποικιλία της φύσης. Οι συγγραφείς της έρευνας θεωρούν ότι ένα τέτοιο μαθηματικό πλαίσιο μπορεί να αποτελέσει βάση για περαιτέρω έρευνα στη Βιολογία, στη Μηχανική και στα Μαθηματικά...

 

Πηγή

Narushin, V. G., Romanov, M. N. & Griffin, D. K. (2021). Egg and math: introducing a universal formula for egg shape. Annals of the New York Academy of Sciences, 1505, 169–177. DOI: 10.1111/nyas.14680.

Καλή επιτυχία στους μαθητές μας!

 

Η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν αφορά απλώς μερικούς υπολογισμούς, αλλά κάτι πολύ βαθύτερο: τη μαθηματική σκέψη και τη μαθηματική λογική, η οποία μας βοηθά στην εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων. Αυτό είναι που θέλω οι μαθητές μου να κρατήσουν από τα μαθήματά μας, όποια πορεία κι αν ακολουθήσουν στις σπουδές τους και στη μετέπειτα ζωή τους! Ακόμη κι αν το εκπαιδευτικό σύστημα είναι αυτό που είναι! Όπως είχε πει ο Laurent Schwartz, "αυτό που είναι σημαντικό, είναι η εμβάθυνση στις έννοιες και η αντίληψη των δεσμών μεταξύ τους. Εκεί βρίσκεται η μαθηματική ευφυΐα. Το γεγονός της γρήγορης ή αργής προόδου είναι δευτερεύον".

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που δίνουν εξετάσεις!

"Ο διαβήτης του Πλάτωνα"

 

Κατά τη διάρκεια του Πελοποννησιακού Πολέμου, η Δήλος προσβλήθηκε από λοιμό. Αντιπροσωπία πολιτών της ζήτησε χρησμό από το μαντείο των Δελφών. "Οι Δήλιοι και οι άλλοι Έλληνες θα ελευθερωθούν από τα παρόντα δεινά αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του θεού", προφήτεψε η Πυθία... 

Βερολίνο 1929-1931. Ο νεαρός μαθηματικός Μπάρτελ βαν ντερ Βέρντεν εντοπίζει μια αντινομία στην "Πολιτεία" του Πλάτωνα, που τον φέρνει μέχρι την πόρτα του μεγάλου ελληνιστή φον Βιλαμόβιτς. Οι δύο άντρες θα ξεκινήσουν μαζί ένα ταξίδι στην ιστορία, σε αναζήτηση του νήματος ενός περίφημου μαθηματικού γρίφου, που παρέμενε άλυτος στην πορεία του χρόνου και της επιστήμης: του δηλίου προβλήματος, το οποίο σχετίζεται με τον διπλασιασμό του κύβου.

Με αγωνιώδη πλοκή και με αφήγηση που εναλλάσσεται από την κλασική Αθήνα στο Βερολίνο και το Γκέτινγκεν του Μεσοπολέμου, παραμονές ανόδου του Χίτλερ στην εξουσία, το μυθιστόρημα "Ο διαβήτης του Πλάτωνα" του Γιάννη Γρηγοράκη συνδυάζει με δεξιοτεχνία την πολιτική με τα μαθηματικά και ζωντανεύει δύο εποχές που σφράγισαν την παγκόσμια ιστορία.

Μεγάλες προσωπικότητες της επιστήμης και των γραμμάτων, από τον Πλάτωνα, τον Θεαίτητο, τον Εύδοξο και τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, μέχρι τον Βιλαμόβιτς, τον βαν ντερ Βέρντεν, την Έμι Νέτερ και τον Γκάνταμερ, σκιαγραφούνται, παίρνουν μορφή και κινούνται αναζητώντας το νήμα του γρίφου.

Σε τι μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά?

 

Για τους μαθητές που αναρωτιούνται πού θα χρειαστούν τα μαθηματικά στη ζωή τους, ο συνάδελφος Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι Math Me Up εξηγεί με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων σε τι ακριβώς μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά στην καθημερινή μας ζωή, αλλά και στον τρόπο που επηρεάζουν τον πολιτισμό μας και τον κόσμο γύρω μας.

Γρίφος: Παράξενη αριθμομηχανή!

 

Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια παράξενη αριθμομηχανή, η οποία μπορεί να εκτελέσει μόνο δύο πράξεις: Για κάθε δεδομένο ακέραιο αριθμό α, μπορεί να υπολογίσει το 2α + 1 ή το (α - 1)/3.

(Η δεύτερη πράξη είναι δυνατή μόνο όταν το α - 1 διαιρείται με το 3).

Μπορείτε, ξεκινώντας από το 1, να καταλήξετε με αυτή την αριθμομηχανή στο 8;

"Πυθαγόρεια εγκλήματα"

 

Αθήνα, 1929. Ο μαθηματικός Στέφανος Κανταρτζής βρίσκεται νεκρός στο δωμάτιό του. Ο επιστήθιος φίλος του, επίσης μαθηματικός, Μιχαήλ Ιγερινός, καλείται για να αναγνωρίσει το πτώμα. Όρθιος μπροστά στο νεκρό φίλο του, ο Ιγερινός αναπολεί τα κάπου τριάντα χρόνια της γνωριμίας τους: την πρώτη τους συνάντηση σ' ένα μαθηματικό συνέδριο το 1900, τις παρέες τους με τις αβάν γκαρντ της παρισινής διανόησης, τις περιπλανήσεις τους στο Παρίσι της Μπελ Επόκ, τους Βαλκανικούς Πολέμους, το Διχασμό, τη Μικρασιατική Καταστροφή. Θυμάται τις θυελλώδεις μαθηματικές τους διαφωνίες, τους έρωτές τους, τις πολεμικές τους περιπέτειες. Ο ήχος μιας ρομβίας τον επαναφέρει στο παρόν. Το ερώτημα είναι επιτακτικό: Ποιος σκότωσε τον Στεφανο Κανταρτζή, και κυρίως γιατί τον σκότωσε;

Μια αστυνομική περιπέτεια με έντονο μαθηματικό άρωμα, τα "Πυθαγόρεια εγκλήματα" του Τεύκρου Μιχαηλίδη αφηγούνται ένα φανταστικό έγκλημα με φόντο ένα αληθινό, σημαντικό φιλοσοφικό και μαθηματικό πρόβλημα.

Καλό Πάσχα!

Το blog "εις το άπειρον" εύχεται στους αναγνώστες του Καλό Πάσχα και Καλή Ανάσταση! 

Πηγή εικόνας