Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Ένας ταχυδρόμος
πρέπει να παραδώσει γράμματα στις εξής οδούς: Άλγεβρας, Γεωμετρίας και Ανάλυσης.
Για την Οδό Άλγεβρας υπάρχουν τριπλάσια γράμματα απ’ όσα για την Οδό
Γεωμετρίας. Για την Οδό Ανάλυσης υπάρχουν 5 γράμματα λιγότερα απ’ όσα για την
Οδό Άλγεβρας. Συνολικά έχει να παραδώσει 100 γράμματα. Πόσα γράμματα θα
παραδώσει σε κάθε οδό;
 |
| Από την κλασική σκηνή της μετακίνησης του καναπέ στη σειρά "Φιλαράκια", με τον Ρος να φωνάζει "Pivot!" (Warner Bros. Television) |
Το «πρόβλημα
της μετακίνησης του καναπέ» (Moving Sofa Problem) είναι ένα
κλασικό ανοιχτό πρόβλημα της γεωμετρίας, που διατυπώθηκε το 1966 από τον Leo Moser.
Η διατύπωση του προβλήματος:
Φανταζόμαστε
έναν καναπέ (ένα επίπεδο σχήμα
στο επίπεδο) που πρέπει να μετακινηθεί:
Το ερώτημα είναι:
Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν ενός καναπέ που μπορεί να μετακινηθεί επιτυχώς μέσα από έναν τέτοιο διάδρομο;
Εκτός
από τη μαθηματική κοινότητα, το πρόβλημα αυτό έχει βρει θέση και στην ποπ
κουλτούρα, χάρη στην γνωστή σκηνή από την κωμική σειρά «Τα φιλαράκια», όπου ο
Ρος, η Ρέιτσελ και ο Τσάντλερ πασχίζουν να μεταφέρουν έναν καναπέ από τις
σκάλες της πολυκατοικίας τους.
Λύνοντας το πρόβλημα...
Ο
31χρονος μαθηματικός δρ. Baek Jineon, ερευνητής στο Κορεατικό Ινστιτούτο
Προηγμένων Σπουδών, έδωσε τα τέλη του 2024 οριστική λύση στο πρόβλημα, δημοσιεύοντας
μία εργασία 119 σελίδων στη βάση arXiv και κερδίζοντας παγκόσμια αναγνώριση για μια απόδειξη
που επιτεύχθηκε χωρίς τη χρήση υπολογιστών. Πώς ξεκίνησαν όμως οι προσπάθειες
επίλυσης του Moving Sofa Problem?
Ο «καναπές του Gerver»
Το
1992, ο μαθηματικός Joseph Gerver πρότεινε ένα καμπυλόγραμμο σχήμα, γνωστό
ως «καναπές του Gerver», με εμβαδόν περίπου 2.2195 τετραγωνικών μονάδων, ως πιθανή λύση. Ωστόσο, μέχρι
πρότινος, κανείς δεν είχε καταφέρει να αποδείξει ότι δεν μπορούσε να υπάρχει
κάποιο άλλο σχήμα με μεγαλύτερο εμβαδόν.
 |
| Ο "καναπές του Gerver" |
Σχετικά
πρόσφατα, λοιπόν, και έπειτα από επτά χρόνια συστηματικής εργασίας, ο δρ. Baek
απέδειξε ότι ο σχεδιασμός του Gerver είναι πράγματι ο βέλτιστος. Κατέληξε στο
συμπέρασμα ότι «δεν μπορεί να υπάρξει
καναπές μεγαλύτερος από τον καναπέ του Gerver». Σε αντίθεση με πολλές
προηγούμενες προσπάθειες, η δουλειά του βασίστηκε αποκλειστικά στη λογική
μαθηματική συλλογιστική και όχι σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις.
Η έρευνα συμπεριλήφθηκε από το περιοδικό
Scientific American στις «10 κορυφαίες μαθηματικές ανακαλύψεις του 2025».
Το
περιοδικό σημείωσε ότι «ενώ πολλοί
ερευνητές είχαν στηριχθεί σε μεγάλης κλίμακας προσομοιώσεις υπολογιστών για να
προσεγγίσουν το μέγιστο μέγεθος του καναπέ, προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η
τελική λύση του Baek Jin Eon δεν εξαρτάται καθόλου από υπολογιστές».
 |
| Ο Κορεάτης μαθηματικός δρ. Baek Jineon (Photo Courtesy of KIAS) |
Ο δρ. Baek ξεκίνησε να ασχολείται με το "πρόβλημα μετακίνησης του καναπέ" κατά τη διάρκεια της στρατιωτικής του θητείας και συνέχισε τόσο στις διδακτορικές του σπουδές στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής, όσο και αργότερα ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στη Νότια Κορέα. Σήμερα συνεχίζει να εργάζεται πάνω σε προβλήματα βελτιστοποίησης και προκλήσεις της συνδυαστικής γεωμετρίας. Παρόλο που ακόμη δεν έχει ολοκληρωθεί η διαδικασία peer review και δεν έχει γίνει επίσημη δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό, πολλοί μαθηματικοί εκφράζουν ήδη υψηλή εμπιστοσύνη στην ορθότητα του αποτελέσματος…
Ευχόμαστε το 2026 να είναι γεμάτο με δημιουργική σκέψη, μαθηματική ομορφιά και ιδέες που μας πάνε ένα βήμα πιο πέρα -ίσως και εις το άπειρον!
 |
| Πηγή εικόνας: Μαθημαγικά |
 |
| Πηγή εικόνας: Lisari blogspot |
 |
| Πηγή εικόνας: Facebook|Matemáticas |
Δείτε εδώ και εδώ όλες τις ιδιότητες του αριθμού 2026.
Ο γρίφος της αντίστροφης μέτρησης έφτασε και φέτος λίγο πριν την Παραμονή της Πρωτοχρονιάς... Είθισται κατά την αλλαγή του χρόνου να σβήνουμε τα φώτα και να μετράμε αντίστροφα από το 10...
Τοποθετήστε ανάμεσα στους αριθμούς όποια σύμβολα πράξεων θέλετε, καθώς και παρενθέσεις, ή και... τίποτα, ώστε η τιμή της παράστασης να είναι 2026.
Η λύση φυσικά δεν είναι μοναδική... Περιμένω να δω τις απαντήσεις σας!!!
✨Update 1/1/2026✨
 |
| Πηγή |
Καλά
Χριστούγεννα σε όλες και όλους!
Να είναι οι γιορτές σας γεμάτες
στιγμές που προσθέτουν χαρά, πολλαπλασιάζουν τα χαμόγελα και μηδενίζουν κάθε άγχος!
 |
| Μαθηματικά στο πνεύμα των Χριστουγέννων - 1ο ΓΕΛ Καλύμνου |
«Κύριε, κατάλαβα από το γράμμα σας ότι
ανυπομονείτε να με έχετε στο Κέιμπριτζ. Από το πανεπιστήμιο μου ξεκαθάρισαν ότι
δεν χρειάζεται να ανησυχώ για τα έξοδα και το επίπεδο των αγγλικών μου
και ότι θα μπορώ να παραμείνω χορτοφάγος
εκεί. Άρα μαζί με τον κύριο Λίτλγουντ μπορείτε να αναλάβετε να με φέρετε στη
χώρα σας σε λίγους μήνες».
Με αυτά τα λόγια ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν, ένας φτωχός Ινδός επαρχιώτης, ενημέρωσε τον σπουδαίο Άγγλο μαθηματικό Γκόντφρεϊ Χάρντι ότι αποδεχόταν την πρόταση να μαθητεύσει στο πλευρό του…
 |
| Μια μυθιστορηματική βιογραφία του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν από τις Εκδόσεις Τραυλός. |
Μια
ακατέργαστη ιδιοφυΐα
Ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν (Srinivasa
Ramanujan, 22 Δεκεμβρίου 1887 – 26 Απριλίου 1920) γεννήθηκε με ένα
χάρισμα: Έβλεπε τον κόσμο μέσα από τους αριθμούς. Η πρώτη του επαφή με τα μαθηματικά έγινε στην ηλικία των 10 ετών. Επέδειξε φυσική
δεξιότητα στο αντικείμενο και του δόθηκαν βιβλία προχωρημένης τριγωνομετρίας, το περιεχόμενο των οποίων
κατείχε απόλυτα στην ηλικία των 12 ετών. Στο σχολείο επέδειξε ασυνήθιστες
μαθηματικές ικανότητες, κερδίζοντας επαίνους και βραβεία. Στην ηλικία των 17
ετών ο Ραμανουτζάν είχε ήδη διεξάγει την προσωπική του έρευνα σχετικά με
τους αριθμούς Μπερνούλι και την σταθερά γ των Όιλερ-Μασερόνι. Ωστόσο τα
υπόλοιπα μαθήματα τον άφηναν αδιάφορο. Έτσι, όταν αποφοίτησε από το σχολείο,
δεν κατάφερε να συνεχίσει τις σπουδές του σε υψηλότερο επίπεδο. Φυσικά, η αγάπη
του για τα μαθηματικά δεν υποχώρησε. Στον ελεύθερό του χρόνο εξακολουθούσε να
μελετάει και να επινοεί δικά του θεωρήματα.
Από
την Ινδία στην Αγγλία
Η
πρώτη του επαφή με τον ακαδημαϊκό κόσμο των μαθηματικών ήρθε μετά το 1910, όταν
ο Ραμανουτζάν γνώρισε τον ιδρυτή της Ινδικής Μαθηματικής Εταιρίας, Ραμασουάμι
Άιερ. Ο Άιερ διάβασε τα τετράδια με τις σημειώσεις του νεαρού Ινδού και αμέσως
εντυπωσιάστηκε. Αποφάσισε να τον συστήσει σε συναδέλφους του στην πόλη Μαντράς,
όπου βρισκόταν το ομώνυμο πανεπιστήμιο. Το 1912 και το 1913 έστειλε κάποια από
τα θεωρήματα του σε τρεις ακαδημαϊκούς στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ. Ο Γκόντφρεϊ
Χάρολντ Χάρντι, αναγνωρίζοντας το υψηλό επίπεδο της δουλειάς του, προσκάλεσε
τον Ραμανουτζάν να τον επισκεφθεί και να συνεργαστούν στο Κέιμπριτζ. Μαζί,
λοιπόν, ξεκίνησαν να μελετούν τα τετράδια του Ραμανουτζάν. Ο Χάρντι είχε ήδη
παραλάβει 120 θεωρήματα από τον Ραμανουτζάν στα πρώτα δύο γράμματα της
αλληλογραφίας τους, αλλά υπήρχαν πολλά περισσότερα πορίσματα και θεωρήματα για
να βγουν στο φως μέσα στα τετράδιά του. Αν και ένας μικρός αριθμός από τα
αποτελέσματα αυτά ήταν εσφαλμένα και μερικά ήδη γνωστά, οι περισσότερες από τις
εργασίες του αποδείχθηκαν ορθές, με μερικά αποτελέσματα να είναι
καινοτομίες. Ο Ραμανουτζάν είχε κερδίσει την εκτίμηση του Χάρντι και του
Λίτλγουντ.
 |
| Ο Ραμανουτζάν (στη μέση) μαζί με άλλους καθηγητές του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ. Δεξιά στην εικόνα είναι ο Χάρντι. (Πηγή: Wikipedia) |
Στην διάρκεια της ζωής του, ο Ραμανουτζάν απέκτησε τους τίτλους του Εταίρου της Βασιλικής Εταιρίας καθώς και του Εταίρου του Κολεγίου Τρίνιτι στο Κέμπριτζ. Απεβίωσε το 1920, μόλις στην ηλικία των 32 ετών ταλαιπωρημένος από αρρώστιες, υποσιτισμό και πιθανόν υποφέροντας από μόλυνση στο συκώτι.
Η
μαθηματική του κληρονομιά
Στην διάρκεια της σύντομης ζωής του, ο Ραμανουτζάν κατάφερε να αφήσει έργο που απαριθμεί σχεδόν 3.900 αποτελέσματα, κυρίως ταυτότητες και εξισώσεις. Διατύπωσε συμπεράσματα που ήταν τόσο πρωτότυπα, όσο και ιδιαίτερα αντισυμβατικά, όπως οι πρώτοι αριθμοί Ραμανουτζάν και η συνάρτηση θήτα Ραμανουτζάν, και ενέπνευσαν έναν τεράστιο αριθμό περαιτέρω ερευνών. Για παράδειγμα, ένας από τους πιο ενδιαφέροντες τύπους είναι η παρακάτω σειρά που ισούται με τον αντίστροφο του π:
 |
| (Πηγή: Wikipedia) |
 |
| (Πηγή: Wikipedia) |
Τον Δεκέμβριο του 2011, αναγνωρίζοντας την συνεισφορά του στα μαθηματικά, η κυβέρνηση της Ινδίας διακήρυξε την ημέρα των γενεθλίων του Ραμανουτζάν (22 Δεκεμβρίου, σαν σήμερα) ως ετήσια «Εθνική Ημέρα των Μαθηματικών».
Η
φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» δεν είναι απλώς ένας τυπικός επίλογος. Αποτελεί το
σήμα κατατεθέν της μαθηματικής σκέψης. Με τη φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» (Ο.Ε.Δ.),
που σημαίνει «το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί», έκλεινε ο Ευκλείδης (περ. 350-270 π.Χ.) κάθε θεώρημα
στα «Στοιχεία». Στα Λατινικά η αντίστοιχη φράση είναι «Quod Erad Demonstrandum» (Q.E.D.). Στη φράση αυτή συνοψίζεται η πεμπτουσία των Μαθηματικών.
Κάθε μαθηματική πρόταση, όσο προφανής κι αν φαίνεται, πρέπει να αποδειχθεί στηριζόμενη
σε λογικά επιχειρήματα που οδηγούν με ασφάλεια στο συμπέρασμα. Τότε μόνο θα είναι
έγκυρη και μπορεί να γίνει καθολικά αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα. Η διαδικασία
της απόδειξης εισήχθη στα μαθηματικά από το Θαλή το Μιλήσιο (640-546 π.Χ.) και
έκτοτε τα συνοδεύει απαρέγκλιτα στο ταξίδι τους μέσα στο χρόνο, καθιστώντας τα
ισχυρά και απαλλάσσοντάς τα από υποκειμενικότητες…
Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης, Γ., Μαρκάτης, Σ. & Σιδέρης. Π. (2001). Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' & Β' Ενιαίου Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β.
Γκουντουβάς, Σ. (2023). Γεωμετρικά Θέματα: 100+1 ασκήσεις Γεωμετρίας
Polster, B. (2009) Όπερ Έδει Δείξαι: Η Ομορφιά της Μαθηματικής Απόδειξης. Αλεξάνδρεια
Το βίντεο από το κανάλι Numberphile παρουσιάζει νέους τρόπους οπτικοποίησης της ταινίας του Möbius ως ένα βασικό αντικείμενο της τοπολογίας. Η ταινία του Möbius έχει εκπληκτικές ιδιότητες που δεν είναι αυτονόητες με την πρώτη ματιά. Αν την κόψεις κατά μήκος, δεν θα πάρεις δύο νέα κομμάτια, αλλά μια μακρύτερη ταινία με περισσότερες στροφές. Κι αν προσπαθήσεις να την κόψεις σε τρία κομμάτια; Μικρές αλλαγές στην κατασκευή οδηγούν σε απρόσμενα αποτελέσματα...
«Γυρίζω και Μαθαίνω: Αριθμοί»… Ένα βιβλίο–παιχνίδι για την πρώτη γνωριμία με τους αριθμούς!
Τα μικρά χεράκια λατρεύουν να γυρίζουν, να τραβούν, να ανακαλύπτουν! Αυτό το χαρούμενο βιβλίο των εκδόσεων Τζιαμπίρης Πυραμίδα προσκαλεί τα παιδιά να μετρήσουν γατάκια, κοτοπουλάκια και άλλα ζωάκια μέσα από μια πολύ ευχάριστη και διαδραστική εμπειρία. Οι αριθμοί κρύβονται και αποκαλύπτονται με την περιστροφή του τροχού, ενισχύοντας τη φυσική περιέργεια και τη χαρά της ανακάλυψης.
Με απλές ερωτήσεις, χαρούμενες εικόνες και φωτεινά χρώματα, το βιβλίο βοηθά τα παιδιά να συνδέσουν τις ποσότητες με τα σύμβολα των αριθμών, καλλιεργώντας βασικές μαθηματικές δεξιότητες ήδη από τις πρώτες ηλικίες. Ιδανικό για γονείς και παιδαγωγούς που αναζητούν έναν παιγνιώδη τρόπο εισαγωγής των αριθμών στην καθημερινότητα των παιδιών, μέσα από το παιχνίδι και τη φαντασία!
Υπάρχουν τέσσερα
σπίτια, τα οποία βρίσκονται στη σειρά. Σε κάθε σπίτι κατοικεί και ένας άνθρωπος:
Ο Λάκης, ο Μάκης, ο Σάκης και ο Τάκης. Καθένας από αυτούς έχει
και έναν διαφορετικό αριθμό βιβλίων: 1, 2, 3, ή 4 βιβλία. Τα μόνα στοιχεία που
έχουμε είναι τα εξής:
Πόσα βιβλία έχει ο
καθένας;
.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=
Μόλις λύσετε αυτόν τον γρίφο, σας παραπέμπω να λύσετε και μια πιο δύσκολη εκδοχή του, που είναι ο γνωστός γρίφος του Αϊνστάιν.
