Η εξίσωση που περιγράφει κάθε πατατάκι και τη συσκευασία τους!

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί τα γνωστά και αγαπητά πατατάκια έχουν αυτό το παράξενο, καμπυλωτό σχήμα; Δεν πρόκειται για μια τυχαία επιλογή. Το σχήμα τους θυμίζει μια μαθηματική επιφάνεια που λέγεται υπερβολικό παραβολοειδές.

Τι είναι το υπερβολικό παραβολοειδές;

Υπερβολικό παραβολοειδές λέγεται η επιφάνεια η οποία ορίζεται από μια εξίσωση της μορφής 

\(\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=\gamma z\) (1),

όπου α, β, γ = σταθερά και α, β > 0, γ \(\neq 0\), με τον άξονα Oz να είναι ο άξονας της επιφάνειας.

Οι εξισώσεις

\(\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{z^2}{\beta^2}=\gamma y\)  και  \(\frac{y^2}{\alpha^2}-\frac{z^2}{\beta^2}=\gamma x\) με α, β > 0, γ \(\neq 0\)

παριστάνουν επίσης υπερβολικά παραβολοειδή με άξονες τους Oy και Ox αντίστοιχα.

Το μόνο σημείο στο οποίο το υπερβολικό παραβολοειδές συναντάει τους άξονες συντεταγμένων είναι το Ο(0,0,0), που λέγεται κορυφή της επιφάνειας και είναι σαγματικό σημείο (ή αλλιώς σημείο σέλας). Δηλαδή, αν και μοιάζει με σημείο τοπικού ακροτάτου, δεν είναι (παρατηρήστε ότι ως προς μια κατεύθυνση είναι τοπικό ελάχιστό ενώ ως προς άλλη κατεύθυνση είναι τοπικό μέγιστο)!

Το υπερβολικό παραβολοειδές (1) μπορεί να προκύψει από την κίνηση της υπερβολής \({\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=\gamma k, z=k}, k \neq 0\), καθώς μεταβάλλεται το k, ή μιας εκ των παραβολών \({\frac{x^2}{\alpha^2}=\gamma z + \frac{\lambda^2}{\beta^2}, y=\lambda}, (\lambda \in \mathbb{R})\) ή \({\frac{y^2}{\beta^2}=-\gamma z + \frac{\mu^2}{\alpha^2}, x=\mu}, (\mu \in \mathbb{R})\), καθώς μεταβάλλεται το λ ή το μ αντίστοιχα.

Μην αφήσετε όμως τα σύμβολα να σας τρομάξουν! Οι εξισώσεις αυτές κρύβουν μια πολύ όμορφη γεωμετρική ιδιότητα: Αν κόψουμε την επιφάνεια με οριζόντια επίπεδα, τότε παίρνουμε υπερβολές. Αν την κόψουμε κατακόρυφα, τότε παίρνουμε παραβολές. Από αυτό το γεγονός προέρχεται και το όνομα της επιφάνειας!

Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι εν γένει μη φραγμένη επιφάνεια, αλλά φυσικά το πραγματικό πατατάκι έχει περιορισμένες διαστάσεις, ενώ επίσης έχει πάχος και ατέλειες. Οπότε η εξίσωση του υπερβολικού παραβολοειδούς δεν είναι παρά μια προσέγγιση της επιφάνειας που έχει ένα πατατάκι.

Και υπάρχει κάτι ακόμη πιο ενδιαφέρον... Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι ευθειογενής επιφάνεια, γιατί παράγεται από την κίνηση ευθείας. Δηλαδή, παρότι είναι καμπύλη επιφάνεια, μπορεί να "χτιστεί" από ευθείες. Με άλλα λόγια, πίσω από το καμπυλωτό σχήμα του πατατακιού κρύβεται ένας κόσμος από ευθείες γραμμές.

Γιατί όμως επιλέχθηκε αυτό το σχήμα;

Η καμπυλότητα κάνει μια λεπτή επιφάνεια σημαντικά πιο δύσκαμπτη και ανθεκτική από μια επίπεδη. Το χαρακτηριστικό "σαγματικό" τους σχήμα βοηθά τα πατατάκια να αντέχουν καλύτερα κατά τη συσκευασία και τη μεταφορά. Παράλληλα, χάρη στο σχήμα αυτό, τα πατατάκια μπορούν να στοιβάζονται το ένα πάνω στο άλλο, δημιουργώντας μια συμπαγή στήλη. Έτσι, δεν μπαίνουν σε σακούλα, αλλά σε μια κυλινδρική συσκευασία.

Η γεωμετρία της συσκευασίας τους: ορθός κυκλικός κύλινδρος

Ας ξεχάσουμε για λίγο το καπάκι και τον πάτο του δοχείου και ας κοιτάξουμε μόνο την πλαϊνή του επιφάνεια... Πώς μπορούμε να την κατασκευάσουμε μαθηματικά; 

Φανταστείτε μια ευθεία που κινείται στον χώρο. Καθώς κινείται, παραμένει πάντα παράλληλη προς τον εαυτό της, ενώ ταυτόχρονα περνά διαδοχικά από όλα τα σημεία ενός κύκλου. Η ευθεία αυτή "σαρώνει" μια επιφάνεια και δημιουργεί έναν κύλινδρο. Η ευθεία ονομάζεται γενέτειρα, επειδή είναι αυτή που δημιουργεί την επιφάνεια, ενώ ο κύκλος από τον οποίο περνά ονομάζεται οδηγός.   

Για παράδειγμα, η εξίσωση \({x^2+y^2=r^2, z \in \mathbb{R}}\) στον τρισδιάστατο χώρο (\(\mathbb{R}^3\)) παριστάνει τον γνωστό ορθό κυκλικό κύλινδρο, με ακτίνα r και γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα Oz. Ο κύκλος \({x^2+y^2=r^2, z=0 }\) μπορεί να λειτουργήσει ως οδηγός της επιφάνειας.

Βέβαια, υπάρχει μια μικρή διαφορά ανάμεσα στον μαθηματικό κύλινδρο και στο κυλινδρικό δοχείο που κρατάμε στα χέρια μας. 

Ο κύλινδρος, όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι εν γένει μη φραγμένη επιφάνεια, δηλαδή επεκτείνεται μέχρι το άπειρο. Αλλά φυσικά στην καθημερινή ζωή έχουμε τον κύλινδρο με περιορισμένο ύψος. Το κυλινδρικό δοχείο είναι ένα πεπερασμένο τμήμα μιας κυλινδρικής επιφάνειας, κλεισμένο με δύο κυκλικές βάσεις.

Δύο διαφορετικές επιφάνειες της Αναλυτικής Γεωμετρίας συναντιούνται λοιπόν στα πατατάκια και στην κυλινδρική τους συσκευασία. Και κάπως έτσι, αυτή η λιχουδιά έγινε ένα μικρό μάθημα Μαθηματικών!