Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τετράγωνο

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Josef Albers (1888 - 1976) - Homage to a square

Salvador Dali (1904 - 1989) - Bengal Tiger

Piet Mondrian (1872 - 1944) - Composition Checkerboard Dark Colors

Pablo Picasso (1881 - 1973) - Harlequin Leaning (1901)

Victor Vasarely (1906-1997)

Paul Klee (1879 - 1940) - May Picture

Kazimir Malevich (1879 - 1935) -
"Black Square and Red Square: Colour Masses in the Fourth Dimension" (1915)

Florin Constantinescu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - 4 quarters (2016)

Andrew Salgado (Σύγχρονος καλλιτέχνης, γεν. 1982)

Τα βιβλία γράφουν...

Τετράγωνο λέμε το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

      Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ρόμβος

ΡΟΜΒΟΣ

Laszlo Moholy-Nagy (1895 - 1946) 

Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry (2013)

Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry (2014)

Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry

Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry (2014)

Alejandro Puente (1933 - 2013) (1965)

Alejandro Puente (1933 - 2013) - "Auca"

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) (1974)

Pierre-August Renoir (1841 - 1919) - "Lunch at the Restaurant Fournaise" (1875)

Τα βιβλία γράφουν...

Ρόμβο λέμε το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Οι μαθηματικές δομές, όπως αυτές των ζωγράφων ή των ποιητών, πρέπει να είναι όμορφες. Οι ιδέες, όπως και τα χρώματα ή οι λέξεις, πρέπει να ταιριάζουν μεταξύ τους με έναν αρμονικό τρόπο. Η ομορφιά είναι η πρώτη δοκιμασία. Δεν υπάρχει χώρος για άσχημα μαθηματικά".
Godfrey Hardy

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

             Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ορθογώνιο

Στο προηγούμενο μέρος του project "Μαθηματικά και Τέχνη" μάθαμε για το παραλληλόγραμμο. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για ορισμένα χαρακτηριστικά παραλληλόγραμμα...


ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

Kazimir Malevich (1878 - 1935)

Piet Mondrian (1872 - 1944)

Piet Mondrian (1872 - 1944) - "Composition with Grid #1" (1918)

Sol LeWitt (1928 - 2007)

Gustav Klimt (1862 - 1918) - "The Kiss" (1907 - 1908)

Jacky Quetard & Sanae Kushibiki (σύγχρονοι ζωγράφοι)

Kostas G. Schnippering (σύγχρονος ζωγράφος) - "Rainy Stockholm" (2020)

Tamar Zinn (σύγχρονος ζωγράφος) - "At the still point 14" (2015)

James Pinkerton (γεν. 1958) -  "Red Pillars"

Florin Constantinescu (σύγχρονος ζωγράφος) - "Ocher, Red, Green and Gray" (2016)

Τα βιβλία γράφουν...

Ορθογώνιο λέμε το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή.

Πολλές φορές το λέμε και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, για να το ξεχωρίσουμε από το πλάγιο παραλληλόγραμμο...

      Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
• wikipedia.org

Η λύση του γρίφου των παρενθέσεων

Ο χθεσινός γρίφος των παρενθέσεων ζητούσε να τοποθετήσουμε καταλλήλως παρενθέσεις στην παρακάτω παράσταση, ώστε να προκύψει ένας αριθμός μεγαλύτερος του 39.

Ομολογουμένως. η επίλυση του γρίφου απαιτεί "πονηριά"... Παρακάτω δίνονται δύο διαφορετικοί τρόποι επίλυσης.

Ο γρίφος των παρενθέσεων

Γνωρίζουμε ότι σε μια παράσταση οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα.

Τοποθετήστε κατάλληλα παρενθέσεις στην παράσταση:

έτσι, ώστε να προκύψει ένας αριθμός μεγαλύτερος του 39.

(Η λύση θα δοθεί αύριο το βράδυ!)

_____________________________________________
UPDATE: Αν ο γρίφος σας βασανίζει, μπορείτε να δείτε δύο ενδεικτικές λύσεις εδώ...

Μαγικά ή μαθηματικά;

Είμαστε έτοιμοι να δούμε ένα... μαγικό τρικ (και την απομυθοποίησή του); Ξεκινάμε...

• Σκέψου έναν αριθμό.
• Πρόσθεσε το 7 στον αριθμό που διάλεξες.
• Αφαίρεσε το 2.
• Τώρα αφαίρεσε τον αριθμό που σκέφτηκες αρχικά.
• Πολλαπλασίασε τον αριθμό που προέκυψε με το 3.
• Τέλος, πρόσθεσε το 5.

Ξέρω ότι ο αριθμός που προέκυψε είναι το 20. Έτσι δεν είναι;

Όχι, δεν έχω καμιά ικανότητα να διαβάζω το μυαλό των άλλων... Πίσω από το τρικ κρύβεται απλώς η παρακάτω αλγεβρική παράσταση:

(x+7-2-x)·3+5 = 5·3+5

                        = 15+5

                    = 20

Δεν είναι μαγικά... είναι απλά μαθηματικά!

Μερικές... διαφορετικές εξισώσεις

Για σήμερα σας έχω λίγους μαθηματικούς γρίφους που βρήκα στο ίντερνετ, οι οποίοι διασκεδάζουν και προβληματίζουν τους χρήστες των κοινωνικών δικτύων. Εσείς μπορείτε να βρείτε τις λύσεις?

#1

#2

#3

#4

Και ένα τελευταίο από μένα...

#5

Σας δυσκολεύουν? Δείτε τις απαντήσεις εδώ...

Αθροίσματα γωνιών των πολυγώνων

Ένα σκίτσο που μας διδάσκει να αποδεχόμαστε τη διαφορετικότητα, γίνεται αφορμή και για ένα μικρό μάθημα Γεωμετρίας.

✩ Άθροισμα (εσωτερικών) γωνιών κυρτού ν-γώνου = 2ν-4 ορθές ✩

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Παραλληλόγραμμο

Στο ξεκίνημα του project "Μαθηματικά και Τέχνη" αναφέραμε το τετράπλευρο. Τώρα θα μάθουμε μερικά χαρακτηριστικά τετράπλευρα σχήματα που θα εντοπίζουμε σε πίνακες ζωγραφικής και διάφορα έργα τέχνης...

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ

Laszlo Moholy-Nagy  (1895 - 1946)

Stephen Westfall (Σύγχρονος ζωγράφος, γεν. 1953) - "Persona" (2009)

Pablo Picasso (1881 - 1973)

Kazimir Malevich (1879 - 1935) - "Painterly Realism of a Football Player" (1915)

Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος)

Τα βιβλία γράφουν...

Παραλληλόγραμμο λέμε το τετράπλευρο σχήμα που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

      Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Εισαγωγή, Τετράπλευρο

O Leonardo Da Vinci (1452 - 1519) έλεγε ότι "οι ζωγράφοι χρησιμοποιούν γραμμές, σχήματα και χρώματα για να αποτυπώνουν τις ιδέες τους πάνω στον καμβά". Ο Ευκλείδης (~350 π.Χ. - 270 π.Χ.) από την άλλη, έλεγε ότι "οι μαθηματικοί διατυπώνουν ακριβείς ορισμούς για τα σχήματα αυτά, ώστε να μπορούν να τα ξεχωρίζουν με βεβαιότητα από άλλα σχήματα, οποιαδήποτε κι αν είναι η θέση τους μέσα στον χώρο". 

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Swans"

Η ίδια η ανθρώπινη φύση υπαγορεύει από τη μια την ανάγκη για έκφραση και δημιουργικότητα και από την άλλη, την ανάγκη για πρόβλεψη και κατανόηση, συνθέτοντας παράλληλα την Τέχνη και τα Μαθηματικά... 

Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου, του Leonardo Da Vinci (έτος περίπου 1490)

Μια κοινή άποψη μεταξύ πολλών ανθρώπων είναι ότι τα μαθηματικά είναι ένα μάθημα βαρετό και χωρίς καμιά χρησιμότητα. Γνώσεις που έχω αποκτήσει στα χρόνια των σπουδών μου, έχουν δείξει όμως το αντίθετο κι αυτό είναι κάτι που επιθυμώ να μοιραστώ με όσους θέλουν να δουν μια εναλλακτική οπτική των πραγμάτων... Τα Μαθηματικά εμφανίζονται (άμεσα ή έμμεσα) σε κάθε μορφή Τέχνης και,  όπως είχε πει ο συνεργάτης του Da Vinci, Luca Pacioli (1445 - 1517), "δεν υπάρχει Τέχνη χωρίς Μαθηματικα". Δεν είναι λίγες οι φορές που εκμεταλλεύομαι αυτό το γεγονός για να βοηθήσω τους μαθητές μου και την κόρη μου να δουν την ομορφιά των Μαθηματικών... Αποκαλύπτω τα "δυσνόητα" μαθηματικά μέσα από τις Καλές Τέχνες και τη Μουσική, έτσι οι μαθηματικές έννοιες γίνονται εύκολα κατανοητές.

Wassily  Kandinsky (1866 - 1944)

Πάμε λοιπόν κι εμείς να ανακαλύψουμε τα Μαθηματικά μέσα από την Τέχνη...

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Lyubov Popova (1889 - 1924)  - έργο του 1916

Ivan Kliun (1873- 1943)

Amanda Airs (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα)

Arthur Wishup (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - έργο του 2014

Τα βιβλία γράφουν...

Τετράπλευρο λέγεται ένα πολύγωνο με τέσσερις πλευρές.



Στα επόμενα θα δούμε κάποια χαρακτηριστικά τετράπλευρα...


(Συνεχίζεται με περισσότερα γεωμετρικά σχήματα και μαθηματικές έννοιες...)


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Κάθε τέχνη πρέπει να γίνεται επιστήμη
και
κάθε επιστήμη πρέπει να γίνεται τέχνη".
(Karl Wilhelm Friedrich von Schlegel)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

                Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981.
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
• Beautiful Decay: Four Artists Paint the Rainbow
• wikipedia.org