Σάββατο 1 Ιουνίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τα Πλατωνικά Στερεά

 

ΤΑ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ

Sylvie Donmoyer (σύγχρονη ζωγράφος, που ασχολείται κυρίως με την καλλιτεχνική αναπαράσταση γεωμετρικών εννοιών) - "Les Solides de Platon"

Τα βιβλία γράφουν...

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κανονικό κυρτό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Miriam Escofet (γεν. 1967) - "The Five Platonic Solids"


Υπάρχουν μόνο πέντε πλατωνικά στερεά. Μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στη Σχολή του Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13º βιβλίο των Στοιχείων, όπου αποδεικνύει ότι αυτά είναι ακριβώς πέντε:


ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ

Το τετράεδρο ανήκει στις τριγωνικές πυραμίδες. Οι έδρες του είναι 4 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Tetracedron Planus Vacuus" (1509)

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 2"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 6"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 8"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 10"

Alan Parker (1916 - 1993) - "Tetrahedron" (1967)
Ο καλλιτέχνης εδώ θέλει να αναδείξει την κάτοψη ενός τετραέδρου, που δεν είναι παρά τέσσερα τρίγωνα. 

Florin Birjoveanu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Over Pyramids"

Sabrina Barrios (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Tetrahedron" (2019)


ΚΥΒΟΣ (Ή ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΕΔΡΟ)

Οι έδρες του κύβου είναι 6 τετράγωνα. Για τον κύβο είχαμε μιλήσει εκτεταμένα και εδώ...

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Exacedron Planus Vacuus" (1509)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007)


ΟΚΤΑΕΔΡΟ

Οι έδρες του οκτάεδρου είναι 8 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Octocedron Planus Vacuus" (1509)

Archan Nair (Σύγχρονος graphic designer) - "Taqueira" art print

Patrick Kelly - "Octahedron"

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "New Geometry Sunset"

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Inspiration"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Octahedron 2"

Katy Lynton (γεν. 1968) - "My Inner Landscape"

Walter Tandy Murch (1907 - 1967) - "Study for Octahedron" (1949)

Karen Caruana (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Okta" (2014)

Sabrina Barrios (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Octahedron" (2019)


ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ

Το δωδεκάεδρο αποτελείται από 12 κανονικά πεντάγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Duodecedron Planus Solidus" (1509)

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Duodecedron Planus Vacuus" (1509)
Εδώ ο da Vinci έχει "αφαιρέσει" τις έδρες, ώστε να φανεί η πλήρης δομή του πολυέδρου.

Kristin Reed  (Σύγχρονη ζωγράφος)  - "The Elements of Astrology Series: Ether"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 3"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 4"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 9"

Annie Kyla Bennet (Σύγχρονη ζωγράφος) - "The painter" (2014)

Jeremy J. Quinn (Σύγχρονος αρχιτέκτονας και graphic designer)

Iona Miller - "Pythagoras & Plato" (2017)

Heather Marshall Bruglia (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Ether (Dodecahedron)" (2018)

Mark Ryden (Σύγχρονος γλύπτης) - "Dodecahedron" (2015)


ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ 

Οι έδρες του εικοσαέδρου είναι 20 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Ycocedron Planus Solidus" (1509)

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Ycocedron Planus Vacuus" (1509)
Εδώ ο da Vinci έχει "αφαιρέσει" τις έδρες, ώστε να φανεί η πλήρης δομή του πολυέδρου.

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron"

Kristin Reed  (Σύγχρονη ζωγράφος)  - "The Elements of Astrology Series: Water"

John A. Hiigli (γεν. 1943) - "Icosahedron" (1997)

John A. Hiigli (γεν. 1943) - "Three Icosahedra" (1997)

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron 2"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron 3"

Travis Crisp (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron Face" (2016)

Nyssa Juneau (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Icosahedron: Built From Congruent Rectangles"

Lucasz Chwalek  (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedra" (2018)

Anthony James (Σύγχρονος γλύπτης) - "Portal Icosahedron"
(Γλυπτό από τιτάνιο, γυαλί και φώτα LED, 2017)


Τα πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Τέσσερα από αυτά συμβόλιζαν τα τέσσερα στοιχεία της φύσης: Το τετράεδρο συμβόλιζε τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, ενώ το οκτάεδρο τον αέρα. Το πέμπτο από αυτά, το δωδεκάεδρο, συμβόλιζε τον αιθέρα, ή αλλιώς την "πεμπτουσία". Οι συνηθισμένοι άνθρωποι δεν έπρεπε να γνωρίζουν για το δωδεκάεδρο και η γνώση για αυτό θεωρούνταν πολύ επικίνδυνη.


Kat Caric (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "The Platonic Solids" (2016)
Εδώ, ο ζωγράφος επικαλείται τη συσχέτιση κάθε πλατωνικού στερεού με κάποιο από τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος, αλλά και του ανθρώπινου σώματος.

Salvador Dali - "Ο Μυστικός Δείπνος" (1955)
Στον πίνακα αυτό, οι μορφές βρίσκονται μέσα σε ένα τεράστιο διαφανές δωδεκάεδρο, ενώ μια μορφή ανυψώνεται προς τον ουρανό. Ο Dali εδώ συνδέει το θρησκευτικό περιεχόμενο του πίνακά του με τη "θεϊκή υπόσταση" του δωδεκαέδρου.



Ο αστρονόμος Johannes Kepler (1571 - 1630) στο βιβλίο του "Το Κοσμογραφικό Μυστήριο" (Mysterium Cosmographicum, 1597) συσχετίζει τα πλατωνικά στερεά με τις τροχιές των πλανητών του ηλιακού μας συστήματος.

Το μοντέλο του ηλιακού μας συστήματος από τον Kepler, βασισμένο στα πλατωνικά στερεά (1597)

Τα πλατωνικά στερεά και οι τροχιές των πλανητών

Τα πλατωνικά στερεά και τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Από το βιβλίο του Kepler, "Harmonices Mundi" (1619). 


Τα πλατωνικά στερεά παρουσιάζουν πολλές συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


"Η Γεωμετρία προϋπήρχε της Δημιουργίας. Είναι εξίσου αιώνια με το μυαλό του Θεού...
Η Γεωμετρία παρείχε στο Θεό ένα μοντέλο για τη Δημιουργία".
Johannes Kepler

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.





Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ιστορίας των Μαθηματικών" καθηγητή Α.Θωμά, 2010
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Universal Leonardo: Rule of Mathematics
  • Elemental Attributes of Platonic Solids
  • Kat Caric: The Platonic Solids
  • Vincent Fink
  • wikipedia.org

Τετάρτη 22 Μαΐου 2019

Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!


Σε όλα τα παιδιά που δίνουν και φέτος εξετάσεις, εύχομαι καλή επιτυχία!!! Και αποφύγετε τα... θανάσιμα αμαρτήματα στα Μαθηματικά...

θανάσιμα αμαρτήματα στα Μαθηματικά
(Πηγή)

Δευτέρα 13 Μαΐου 2019

Γρίφος: Η γάτα, η χελώνα και ένα τραπέζι


Στα δύο παρακάτω σκίτσα βλέπουμε μια γάτα και μια χελώνα, που ανεβαίνουν εναλλάξ σε ένα τραπέζι.
Με βάση τα σκίτσα αυτά, να απαντήσετε στο ερώτημα:


Σάββατο 4 Μαΐου 2019

Πώς οι αρχαίοι Έλληνες διαμόρφωσαν τα σύγχρονα μαθηματικά


Πριν από περίπου 2.500 χρόνια, μια ομάδα Ελλήνων με επαναστατικό τρόπο σκέψης διαμόρφωσε την αντίληψη που έχουμε σήμερα για τα μαθηματικά, μέσα από την ιδέα της μαθηματικής απόδειξης. Στο σύντομο animated βίντεο που δημοσίευσε το Royal Institution, παρουσιάζεται πώς οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά, όχι απλώς για να κάνουν υπολογισμούς, αλλά με σκοπό να ερμηνεύσουν τον κόσμο.


"Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί οι γλώσσες πεθαίνουν, ενώ οι μαθηματικές ιδέες είναι αθάνατες. Ίσως η αθανασία είναι μια ανόητη λέξη, αλλά μάλλον ο μαθηματικός έχει την καλύτερη τύχη, ό,τι κι αν αυτό σημαίνει".
(G. H. Hardy)

Παρασκευή 19 Απριλίου 2019

Γρίφος: Στη διάθεσή σας όλο το εικοσιτετράωρο!


Η βάρδια των υπαλλήλων της ρεσεψιόν ενός ξενοδοχείου διαρκεί από τις 8 π.μ. έως τις 8 μ.μ., ή από τις 8 μ.μ. έως τις 8 π.μ., ή από τις 8 π.μ. έως τις 8 π.μ. την άλλη μέρα. Στην πρώτη περίπτωση, το διάστημα μέχρι την επόμενη βάρδια πρέπει να είναι τουλάχιστον 24 ώρες, στη δεύτερη περίπτωση τουλάχιστον 36 ώρες και στην τρίτη περίπτωση τουλάχιστον 60 ώρες. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος υπαλλήλων που χρειάζονται για να λειτουργεί η ρεσεψιόν του ξενοδοχείου σε 24ωρη βάση; 

ρεσεψιόν ξενοδοχείου

Πηγη:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 2 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 2001

Τετάρτη 17 Απριλίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πρίσματα


Υπάρχουν πολλά είδη πολυέδρων, αλλά τα απλούστερα είναι τα πρίσματα.


ΠΡΙΣΜΑΤΑ


Τα βιβλία γράφουν...

Το στερεό σχήμα που περικλείεται μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων και μιας πρισματικής επιφάνειας, συμπεριλαμβανομένων των επίπεδων τομών, λέγεται πρίσμα. Οι δύο ίσες και παράλληλες τομές λέγονται βάσεις του πρίσματος. Τα τμήματα των εδρών της πρισματικής επιφάνειας που περικλείονται μεταξύ των επιπέδων των βάσεων είναι παραλληλόγραμμα και λέγονται παράπλευρες έδρες του πρίσματος.

Αν οι βάσεις του πρίσματος είναι τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάγωνα κλπ., τότε το πρίσμα λέγεται τριγωνικό, τετραγωνικό, πενταγωνικό κλπ.

Τα βασικά τετραγωνικά πρίσματα είναι ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχουμε ήδη δει.


ΑΛΛΑ ΠΡΙΣΜΑΤΑ


Τριγωνικό πρίσμα


dark side of the moon
Storm Thorgerson (1944-2013) - "Dark Side of the Moon"
(Εξώφυλλο του ομώνυμου δίσκου των Pink Floyd, 1973)

Τριχοτόμηση του τριγωνικού πρίσματος 1
Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Trisection of the triangular prism"

Τριχοτόμηση του τριγωνικού πρίσματος 2
Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Trisection of the triangular prism"

Τριχοτόμηση του τριγωνικού πρίσματος 3
Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Trisection of the triangular prism"



Πενταγωνικό πρίσμα




Πενταγωνικό πρίσμα
Art Kosekoma - "Pentagonal Prism"
(γλυπτό με την τεχνική της 3D εκτύπωσης)


Πενταγωνικό πρίσμα - σπουδή
Taff Goch (Σύγχρονος graphic designer) - "Pentagonal Prism Study"



Εξαγωνικό πρίσμα




Εξαγωνικά πρίσματα
Dacai (Σύγχρονος graphic designer) - "Neon Hexagonal Prism" Wallpaper (2013)

Εξαγωνικό πρίσμα
Science Photo Library Art - "Hexagonal Prism Art" (2018)

Πώς να κάνετε φωτοσκίαση σε πρίσματα
Άγνωστος καλλιτέχνης (1900)


Νεκρή φύση με εξαγωνικό πρίσμα
Vivi Huang (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Pot, hexagonal prism and an apple" (2011)


Στην επόμενη ανάρτηση θα μιλήσουμε για μια ειδική κατηγορία πολυέδρων που έχει μελετηθεί εκτενώς από τους αρχαίους Έλληνες: Τα πλατωνικά στερεά.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η ζωή είναι σαν ένα πρίσμα. Ό,τι βλέπουμε εξαρτάται από το πώς στρέφουμε το γυαλί".
Jonathan Kellerman, συγγραφέας.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


Πηγές:

Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019

Πέμπτη 28 Φεβρουαρίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πυραμίδα


ΠΥΡΑΜΙΔΑ 

Έχουμε γνωρίσει, μέσω του του project "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη", τα
πολύεδρα. Στην ανάρτηση αυτή, παρουσιάζεται μέσα από πίνακες ζωγραφικής, μοντέρνα γλυπτά, από τη σύγχρονη αρχιτεκτονική, αλλά και από την αρχιτεκτονική της αρχαιότητας, ένα ακόμη είδος πολύεδρου, η πυραμίδα.



Τα βιβλία γράφουν...

Πυραμίδα λέγεται το πολύεδρο που έχει έδρες ν τρίγωνα και ένα ν-γωνο. Το ν-γωνο λέγεται βάση της πυραμίδας.
π.χ. για ν = 3, έχουμε την τριγωνική πυραμίδα,
για ν = 4, έχουμε την τετραγωνική πυραμίδα,
για ν = 5, έχουμε την πενταγωνική πυραμίδα κλπ.

Οι Πυραμίδες της Αιγύπτου
William Brown (1953 - 2008) - "The Great Pyramids"

Αιγυπτιακές Πυραμίδες
Enki Art - "Egyptian Pyramids" (2017)


Πυραμίδες
James Marshall (Σύγχρονος καλλιτέχνης)


Ανεστραμμένες πυραμίδες
Sara Mondo (Σύγχρονη ζωγράφος) - "City of Inverted Pyramids"

Robbie Allen (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "We are not lost" (2016)

"Pyramis Laterata Quadrangulavasa"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Pentagonal Pyramid" 


Παρακάτω βλέπουμε όμορφα γλυπτά σε σχήμα τριγωνικής πυραμίδας...

Γλυπτά με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, με εσωτερικό φωτισμό
Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - Γλυπτά με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, με εσωτερικό φωτισμό, εγκατεστημένα στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη

"Πυραμίδα" (γλυπτό του 1999)
Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Πυραμίδα" (γλυπτό του 1999)



Το σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας είχαν οι περίφημοι τάφοι των Φαραώ στην αρχαία Αίγυπτο...


Οι Πυραμίδες της Αιγύπτου
Οι Πυραμίδες της Αιγύπτου:
Σύμφωνα με τους αρχαιολόγους, η επιλογή του σχήματος της πυραμίδας συμβόλιζε τις ακτίνες του ήλιου, ή ακόμα και μια σκάλα προς τον ουρανό.


Η Πυραμίδα του Λούβρου, μια πυραμίδα από γυαλί και μέταλλο
Η Πυραμίδα του Λούβρου, μια πυραμίδα από γυαλί και μέταλλο, αποτελεί την κύρια είσοδο του μουσείου του Λούβρου. Η τετραγωνική βάση της έχει πλευρές 35 μέτρων και φτάνει σε ύψος 21,6 μέτρων, ενώ περιστοιχίζεται και από τρεις μικρότερες πυραμίδες.
Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα I.M. Pei και η κατασκευή της ολοκληρώθηκε το 1989. 


Πηγές:

Δευτέρα 14 Ιανουαρίου 2019

Γρίφος: Ένας πολύχρωμος κύβος


Έχουμε έναν πολύχρωμο κύβο, με διαφορετικό χρώμα σε κάθε έδρα.
Παρακάτω βλέπετε τον κύβο από τρεις διαφορετικές οπτικές γωνίες.
Τι χρώμα έχει η έδρα που βρίσκεται απέναντι από την κόκκινη έδρα;;;


Πολύχρωμος κύβος από διαφορετικές οπτικές γωνίες



________________________________________________
Λύση: Μπορείτε να ελέγξετε την απάντησή σας
εδώ...