Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
'Ένας εργάτης συμφώνησε να πληρώνεται 48 φράγκα για κάθε ημέρα εργασίας και να επιστρέφει 12 φράγκα για κάθε ημέρα αργίας. Μετά 30 ημέρες, το αφεντικό δεν χρωστάει χρήματα στον εργάτη, ούτε και ο εργάτης πρέπει να επιστρέψει τίποτε.
Πόσες από τις 30 ημέρες δούλεψε ο εργάτης;
Σημείωση: Ο γρίφος αυτός τέθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Etienne Bezout (1730-1783).
...ή αλλιώς: το κέρατό μου μέσα, μ' αυτές τις εξισώσεις που έμπλεξα!😂
Κωνσταντινούπολη, 27 Δεκεμβρίου 537, ημέρα των εγκαινίων της Μεγάλης Εκκλησίας. Ο Ιωάννης, στενός συνεργάτης των αρχιτεκτόνων της, βρίσκεται δολοφονημένος. Όλες οι ενδείξεις οδηγούν στη Θεανώ, πρώην σπουδάστρια στην Ακαδημία του Πλάτωνος και στενή φίλη του θύματος. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης, ένας άνθρωπος που έχει αφιερώσει τη ζωή του στη συγκέντρωση και διάσωση των έργων του Αρχιμήδη, αναλαμβάνει να εξιχνιάσει την υπόθεση: είναι πράγματι ένοχη η νεαρή μαθηματικός, ή μήπως έχει πέσει θύμα μιας καλοστημένης συνωμοσίας;
 |
| Το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις "Πόλις" |
Ιστορικά πρόσωπα, όπως η Θεοδώρα και ο Ιουστινιανός, αλλά και μυθοπλαστικοί ήρωες συναντιούνται και αλληλεπιδρούν σε αυτό το μοναδικό μυθιστόρημα για να ζωντανέψουν το κλίμα της μετάβασης από την 'Υστερη Αρχαιότητα στον πρώτο βυζαντινό χρυσό αιώνα. Η αρχαία φιλοσοφία πεθαίνει, κληροδοτώντας όμως στον καινούργιο κόσμο την κατακτημένη σοφία της: τη γεωμετρία και τη μηχανική της. Χωρίς αυτές, θαύματα όπως ο Ναός της Αγίας του Θεού Σοφίας δεν θα έπαιρναν ποτέ σάρκα και οστά. Στο προσκήνιο αυτής της ιδιόμορφης σύγκρουσης, ο μύθος εκτυλίσσεται μέσα από σκάνδαλα, καταχρήσεις, μισαλλοδοξία και, κυρίως, μέσα από την αιώνια πάλη για εξουσία.
Το προτείνω ανεπιφύλακτα για λάτρεις -και μη- των Μαθηματικών!
"Όλοι όσοι εξάγουν συμπεράσματα δια του αδυνάτου, οδηγούνται μέσω συλλογισμών σ' ένα λανθασμένο συμπέρασμα και έτσι αποδεικνύουν την αρχική υπόθεση, καταλήγοντας σε κάτι ψευδές έχοντας υποθέσει το αντίθετο".
(Αριστοτέλης - Απόσπασμα από το βιβλίο)
Η
έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης και σχετικών δεξιοτήτων στην εφηβική ηλικία
μπορεί να αποβεί επιζήμια για τον εγκέφαλο και τη γνωστική ανάπτυξη των εφήβων,
σύμφωνα με βρετανική έρευνα.
Οι
έφηβοι που έχουν σταματήσει να μελετούν μαθηματικά εμφανίζουν μειονέκτημα σε
σχέση με τους συνομηλίκους τους που συνεχίζουν και μετά τα 16 να ασχολούνται με
τα μαθηματικά, σύμφωνα με μία νέα βρετανική επιστημονική έρευνα. Η μελέτη
δείχνει ότι η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης και σχετικών δεξιοτήτων στην
εφηβική ηλικία μπορεί να αποβεί επιζήμια για τον εγκέφαλο και τη γνωστική
ανάπτυξη των εφήβων.
Ο
εγκέφαλος όσων δεν ασχολούνται πια με τα μαθηματικά εμφανίζει έλλειψη σε μία
ζωτική χημική ουσία (το γ-αμινοβουτυρικό οξύ ή GABA), που παίζει ρόλο-κλειδί
για την πλαστικότητα και την ανάπτυξη του εγκεφάλου, με αποτέλεσμα να
επηρεάζεται αρνητικά η ικανότητα για μνήμη, μάθηση, λογικούς συλλογισμούς και
επίλυση προβλημάτων.
Οι
ερευνητές του Τμήματος Πειραματικής Ψυχολογίας του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης,
με επικεφαλής τον καθηγητή Γνωστικής Νευροεπιστήμης Ρόι Κοέν Καντός, οι οποίοι
έκαναν τη σχετική δημοσίευση στο περιοδικό της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των
ΗΠΑ (PNAS), μελέτησαν 133 μαθητές ηλικίας 14 έως 18 ετών.
Σε
αντίθεση με πολλές χώρες, η Βρετανία δίνει τη δυνατότητα στους 16χρονους
μαθητές να αποφασίσουν να σταματήσουν τελείως τη μαθηματική εκπαίδευσή
τους. Έτσι είναι εφικτό να διαπιστωθεί κατά πόσο αυτό επιδρά στον εγκέφαλο
και στις γνωστικές λειτουργίες του. Όπως διαπιστώθηκε, όσοι δεν έκαναν πια
μαθηματικά είχαν αισθητά λιγότερο GABA στον εγκέφαλό τους, κάτι που δεν ίσχυε
πριν πάρουν την απόφαση να τα σταματήσουν.
Ο Κοέν
Καντός δήλωσε ότι «οι μαθηματικές δεξιότητες σχετίζονται με μία ευρεία
γκάμα από οφέλη, όπως η απασχόληση, η κοινωνικοοικονομική κατάσταση, καθώς
επίσης η σωματική και ψυχική υγεία. Η εφηβεία είναι μία σημαντική περίοδος της
ζωής που σχετίζεται με σημαντικές εγκεφαλικές και γνωστικές μεταβολές.
Δυστυχώς, η διακοπή της μελέτης των μαθηματικών σε αυτήν την ηλικία φαίνεται να
οδηγεί σε μία υστέρηση των εφήβων που τα σταματούν, σε σχέση με όσους
συνεχίζουν τη μελέτη των μαθηματικών».
«Δεν
είναι -ακόμη- γνωστό πώς αυτή η υστέρηση ή οι επιπτώσεις της σε βάθος χρόνου μπορούν
να αποτραπούν. Τα μαθηματικά δεν αρέσουν σε όλους, γι' αυτό χρειαζόμαστε
εναλλακτικές λύσεις, όπως η εξάσκηση στη λογική και στη συλλογιστική, που
ενεργοποιούν την ίδια περιοχή του εγκεφάλου με τα μαθηματικά», πρόσθεσε.
Οι ερευνητές τόνισαν, επίσης, πως δεδομένου ότι αρκετοί μαθητές είχαν περιορισμένη ή καθόλου πρόσβαση στην εκπαιδευτική διαδικασία και ειδικότερα στα μαθηματικά στη διάρκεια της πανδημίας Covid-19, αυτό μπορεί να αποδειχθεί πρόβλημα στο μέλλον. Στη μελέτη συμμετείχε και ο μεταδιδακτορικός ερευνητής Γιώργος Ζαφειρόπουλος, απόφοιτος του Πανεπιστημίου της Κύπρου.
Ο δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ από το Πανεπιστήμιο της Νέας Νότιας Ουαλίας στο Σίδνεϋ αποκάλυψε την προέλευση της εφαρμοσμένης γεωμετρίας σε μία πήλινη βαβυλωνιακή πλάκα ηλικίας περίπου 3.700 ετών. Η πλάκα, που χρονολογείται από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο (μεταξύ του 1900 και 1600 π.Χ.), είχε ανακαλυφθεί στο κεντρικό Ιράκ το 1894. Τα τελευταία χρόνια βρισκόταν στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Κωνσταντινούπολης, χωρίς να έχει γίνει αντιληπτή η σημασία της για την ιστορία των μαθηματικών.
 |
| Credit: UNSW Sydney |
Η πλάκα με την ονομασία Si.427, η οποία
δημιουργήθηκε από Βαβυλώνιους «τοπογράφους», μελετήθηκε από τον Ντάνιελ
Μάνσφιλντ, ο οποίος έκανε και τη σχετική δημοσίευση στο επιστημονικό περιοδικό
«Foundations of Science». Σύμφωνα με τον ίδιο, «πρόκειται για το
μοναδικό γνωστό παράδειγμα κτηματολογικού «εγγράφου» από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή
περίοδο του 1900-1600 π.Χ. και αφορά ένα σχέδιο που χρησιμοποιούσαν οι
«τοπογράφοι» για να καθορίζουν τα χερσαία όρια. Στη συγκεκριμένη περίπτωση,
περιέχει νομικές και γεωμετρικές λεπτομέρειες σχετικά με ένα κτήμα που
χωρίστηκε μετά την πώληση ενός τμήματός του».
Θεωρείται σημαντικό ότι ο «τοπογράφος»
χρησιμοποιεί τις πυθαγόρειες τριάδες για να δημιουργήσει ακριβείς ορθές γωνίες.
«Η ανακάλυψη και η ανάλυση της πλάκας έχουν σημαντικές επιπτώσεις για την
ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, η πλάκα δημιουργήθηκε πάνω από 1000
χρόνια προτού γεννηθεί ο Πυθαγόρας», επισημαίνει ο Μάνσφιλντ.
Άλλη μία παγκόσμια πρωτιά
Το 2017, ο ίδιος μαθηματικός είχε εικάσει
ότι μία άλλη πλάκα της ίδιας περιόδου, γνωστή ως «Πλίμπτον 322», αποτελεί
μοναδικό δείγμα τριγωνομετρικού πίνακα. Όπως ανέφερε, «είναι γενικά αποδεκτό ότι
η τριγωνομετρία -ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των
τριγώνων- αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες που μελετούσαν τον νυχτερινό
ουρανό κατά τον 2ο αιώνα π.Χ. Όμως οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει τη δική τους
εναλλακτική “πρωτο-τριγωνομετρία” για να λύνουν προβλήματα σχετικά με μετρήσεις
επί του εδάφους και όχι στον ουρανό».
 |
| Credit: UNSW Sydney |
Η αποκάλυψη του σκοπού της πλάκας: Τοπογραφία
Η πλάκα Si.427 θεωρείται ότι υπήρξε πριν
και από την «Πλίμπτον 322». Το 2017, η ομάδα του Μάνσφιλντ είχε διατυπώσει την εικασία της σχετικά με το σκοπό της πλάκας «Πλίμπτον 322», υποθέτοντας ότι
πιθανότατα είχε κάποια πρακτική χρήση όπως η κατασκευή παλατιών και ναών,
δημιουργία καναλιών ή ο καθορισμός ορίων κτημάτων.
«Με τη νέα πλάκα μπορούμε, πράγματι, να
δούμε για πρώτη φορά γιατί (οι Βαβυλώνιοι) ενδιαφέρονταν για τη γεωμετρία:
Ήθελαν να χαράζουν ακριβή όρια στο έδαφος. Ήταν μία περίοδος που η γη άρχιζε να
γίνεται ιδιωτική και οι άνθρωποι άρχισαν να σκέφτονται με όρους “η γη μου και η
γη σου”. Ήθελαν, έτσι, να χαράζουν ξεκάθαρα όρια, προκειμένου να έχουν καλές
σχέσεις με τους γείτονές τους. Ακριβώς αυτό αφορά και η εν λόγω πλάκα: Ένα χωράφι
διαχωρίστηκε και νέα όρια χαράχτηκαν», σημείωσε ο Μάνσφιλντ.
Άλλες πλάκες, που έχουν ήδη βρεθεί από
εκείνη την περίοδο στη Βαβυλώνα, αποκαλύπτουν όντως ότι υπήρχαν διαφωνίες
σχετικά με τα σύνορα των κτημάτων και για το ποιος ήταν π.χ. ο ιδιοκτήτης πολύτιμων
δέντρων όπως οι φοίνικες, που βρίσκονταν κοντά στο όριο των γειτνιαζόντων
κτημάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, επιθεωρητές-τοπογράφοι καλούνταν να
διευθετήσουν τη διαφωνία και η εφαρμοσμένη γεωμετρία ήταν ένα πολύ χρήσιμο
εργαλείο.
Κατασκευάζοντας ορθές γωνίες: Εύκολο να το
πεις, δύσκολο να το κάνεις
Ένας απλός τρόπος να κατασκευάσεις μια
ορθή γωνία με απόλυτη ακρίβεια, είναι να φτιάξεις ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4
και 5. Αυτοί οι ειδικοί αριθμοί αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5. Έχει
χρησιμοποιηθεί από αρχαίους τοπογράφους και χτίστες και χρησιμοποιείται μέχρι
σήμερα.
«Οι αρχαίοι τοπογράφοι που δημιούργησαν
την πλάκα Si.427 έκαναν κάτι διαφορετικό: Χρησιμοποίησαν μια ποικιλία
διαφορετικών πυθαγόρειων τριάδων και ως πλευρές ορθογωνίων τριγώνων και ως
πλευρές και διαγώνιο ορθογωνίου, προκειμένου να κατασκευάζονται ορθές γωνίες με
ακρίβεια», δηλώνει ο Μάνσφιλντ.
Ωστόσο, είναι δύσκολο να δουλέψεις με
πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους του 5 στο εξηκονταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων.
 |
| Credit: UNSW Sydney |
Τα άγνωστα –μέχρι τώρα- μυστικά του Si.427
Ο δρ Μάνσφιλντ ελπίζει να ανακαλύψει άλλες
εφαρμογές της “πρωτο-τριγωνομετρίας” των Βαβυλωνίων. Στο πίσω μέρος της πλάκας,
αναγράφεται ο εξηκονταδικός αριθμός 25:29, δηλαδή 25 εξηντάδες και 29 μονάδες
(σκεφτείτε το σαν 25 λεπτά και 29 δευτερόλεπτα).
«Δεν μπορώ να βρω τι σημαίνουν αυτοί οι
αριθμοί – είναι το απόλυτο αίνιγμα», αναφέρει ο δρ Μάνσφιλντ. «Είμαι πρόθυμος
να το συζητήσω με ιστορικούς ή μαθηματικούς που μπορεί να έχουν μια ιδέα τι
θέλουν να μας πουν οι αριθμοί αυτοί!»
 |
| Henri Matisse (1869-1954) - "Basket with Oranges" (1913) |
Ας υποθέσουμε ότι είσαι οπωροπώλης και έχεις 1.023 πορτοκάλια. Πρέπει να τα μοιράσεις σε 10 σακούλες με τέτοιο τρόπο, ώστε όσα πορτοκάλια και να σου ζητήσει ο πελάτης (από 1 μέχρι 1.023, φυσικά) να μπορείς να του δώσεις ορισμένες σακούλες από αυτές (μία, δύο κλπ. ή όλες) με συνολικά το πλήθος των πορτοκαλιών που ζητάει και χωρίς να χρειαστεί να μεταφέρεις κανένα πορτοκάλι από τη μια σακούλα στην άλλη.
Πώς θα μοιράσεις τα 1.023 πορτοκάλια στις 10 σακούλες;
*Σημείωση*
Τον γρίφο αυτόν μου τον πρότεινε μια μαθήτρια της Α΄ Λυκείου.
Καλό μήνα σε όλους!
1/8/21 σήμερα! Ή αλλιώς... 1821!
Το έτος της ελληνικής επανάστασης.
Δείτε όμως περισσότερες ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας, από τον εξαιρετικό συνάδελφο που μου έστειλε την παραπάνω εικόνα...
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
31/7/21 σήμερα...
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 31721.
Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
"Τα μαθηματικά είναι το αλφάβητο με το οποίο ο Θεός περιέγραψε το Σύμπαν".
Γαλιλαίος
30/7/21 σήμερα...
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις αξιοσημείωτες ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 30721.
Πρόκειται για μια αξιόλογη δουλειά. 30721 ευχαριστώ στον εξαιρετικό συνάδελφο που δημιούργησε και μου έστειλε την εικόνα!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
