Ο "Μέσι των μαθηματικών": Ο Αργεντινός μαθηματικός που κέρδισε φέτος το βραβείο Άμπελ

Ο 74χρονος Αργεντινός μαθηματικός Λουίς Καφαρέλι γίνεται ο πρώτος λατινοαμερικάνος που κατακτά το βραβείο Άμπελ για τη συνεισφορά του στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Πρώτα το ποδόσφαιρο, τώρα τα μαθηματικά. Τρεις μήνες μετά τον θρίαμβο του Λιονέλ Μέσι στο Παγκόσμιο Κύπελλο του Κατάρ, ένας ακόμη Αργεντινός κατακτά κορυφαίο διεθνές τρόπαιο, αυτή τη φορά στα μαθηματικά.

Ο 74χρονος Λουίς Καφαρέλι έλαβε το βραβείο Άμπελ, ένα βραβείο που απονεμήθηκε από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων, για την εργασία του στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες είναι εξισώσεις που περιέχουν άγνωστες συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους αυτών.

Ο Καφαρέλι γεννήθηκε και μεγάλωσε στο Μπουένος Άιρες, γεγονός που τον καθιστά τον πρώτο κάτοχο του βραβείου Άμπελ από τη Νότια Αμερική. Σήμερα είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν και ζει στις ΗΠΑ από τότε που απέκτησε το διδακτορικό του από το Πανεπιστήμιο του Μπουένος Άιρες το 1972.

Για πέντε δεκαετίες ο Καφαρέλι ήταν ηγετική φυσιογνωμία στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων, ενός μεγάλου πεδίου που βασίζεται σε μεθόδους που επινόησαν οι Ισαάκ Νεύτων και Γκότφριντ Λάιμπνιτζ τον 17^ο αιώνα για να περιγράψουν μεγέθη που μεταβάλλονται συνεχώς μεταξύ τους.

Καθημερινά φαινόμενα, όπως το πώς λιώνει ένα παγάκι μέσα σε ένα ποτήρι νερό, οδηγούν σε περίπλοκες εξισώσεις. Σχεδόν κάθε γνωστή εξίσωση που μοντελοποιεί τη φυσική ή ανθρώπινη συμπεριφορά είναι μια μερική διαφορική εξίσωση, από τις εξισώσεις Νάβιερ - Στόουκς στη δυναμική των ρευστών, έως την εξίσωση Μπλακ - Σκόουλς στα οικονομικά.

Οι πρωτοποριακές συνεισφορές του Λουίς Καφαρέλι στα μαθηματικά

Η ανακοίνωση της Νορβηγικής Ακαδημίας Επιστημών και Γραμμάτων αναφέρει ότι ο Λουίς Καφαρέλι έχει κάνει «πρωτοποριακές συνεισφορές» που «έχουν αλλάξει ριζικά την κατανόησή μας για τις κατηγορίες μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων με ευρείες εφαρμογές. Τα αποτελέσματα είναι τεχνικά ενάρετα, καλύπτοντας πολλούς διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών και των εφαρμογών τους».

Προσθέτει: «Συνδυάζοντας λαμπρή γεωμετρική διορατικότητα με έξυπνα αναλυτικά εργαλεία και μεθόδους, είχε και συνεχίζει να έχει τεράστιο αντίκτυπο στο πεδίο».

Ο Καφαρέλι μελετά τη μαθηματική συνέπεια αυτών των εξισώσεων, προσπαθώντας ουσιαστικά να βρει εάν είναι ουσιαστικές αναπαραστάσεις της πραγματικότητας. Ο Χελτζ Χόλντεν, πρόεδρος της επιτροπής Άμπελ, δήλωσε: «Τα μαθηματικά είναι σαν ένα ελβετικό μαχαίρι: το ίδιο εργαλείο μπορεί να εφαρμοστεί σε πολλά διαφορετικά προβλήματα. Τα εργαλεία που έχει βρει ο Καφαρέλι έχουν εφαρμοστεί σε πολλά διαφορετικά προβλήματα, από εξισώσεις που περιγράφουν τη φύση έως οικονομικά μαθηματικά».

Ο Καφαρέλι δήλωσε πολύ χαρούμενος που κέρδισε το βραβείο. «Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι ένα σημαντικό μέρος της επιστήμης. Υπάρχει συνεχής εξέλιξη και εφαρμογή των εξισώσεων. Είμαι χαρούμενος που έχω κάνει πολύτιμες συνεισφορές».

Ως μαθηματικός, ο Λουίς Καφαρέλι είναι εξαιρετικά παραγωγικός – και εξαιρετικά κοινωνικός. Έχει δημοσιεύσει 320 εργασίες και συνεχίζει να δημοσιεύει αρκετές το χρόνο. Έχει συγγράψει εργασίες με περισσότερα από 130 άτομα και συμβουλεύει περισσότερους από 30 διδακτορικούς φοιτητές. Το 2018 ένας από τους νεότερους συνεργάτες του, ο Αλέσιο Φιγκάλι, κέρδισε το μετάλλιο Fields, το πιο γνωστό βραβείο στα μαθηματικά, το οποίο είναι διαθέσιμο μόνο σε άτομα κάτω των 40 ετών.

Ο Καφαρέλι είναι παντρεμένος με την Αργεντινή μαθηματικό Ιρένε Μαρτίνες Γκάμπα, η οποία είναι καθηγήτρια υπολογιστικής μηχανικής και επιστημών στο Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν.

Το βραβείο Άμπελ πήρε το όνομά του από τον Νορβηγό μαθηματικό του 19^ου αιώνα Νιλς Χένρικ Άμπελ, ο οποίος συνέβαλε σημαντικά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών πριν πεθάνει από φυματίωση σε ηλικία 26 ετών. Το βραβείο απονέμεται κάθε χρόνο από το 2003 και είναι ισότιμο του βραβείου Νόμπελ, που δεν έχει κατηγορία μαθηματικών.

 

Πηγές:

The Guardian: The Messi of Maths - Argentinian Luis Caffarelli wins Abel Prize

Scientific American: Top Math Prize Awarded for Describing the Dynamics of the Flow of Rivers and the Melting of Ice

Διαβάστε για τη δουλειά του Λουίς Καφαρέλι: 

Quanta Magazine: Mathematicians Prove Melting Ice Stays Smooth

 

"Τ' ανώτερα μαθηματικά μου..." (για την Παγκόσμια Ημέρα Ποίησης)

Harsh Malik - "Ornate Nautilus Shell"

 

Τ' ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥ τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Ιδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:

(1) Εάν αποσυνθέσεις την Ελλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.

(2) Το γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Ιησού Χριστού.

(3) Η ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). Η ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.

(4) Όπου υπάρχουν συκιές υπάρχει Ελλάδα. Όπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του υπάρχει ποιητής. Η ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.

(5) Ένα δειλινό στο Αιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπη σε τόσο ίσες δόσεις που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.

(6) Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.

(7) Ένας "Αναχωρητής" για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας "Επερχόμενος".

Οδυσσέας Ελύτης, Ο Μικρός Ναυτίλος, εκδ. ΙΚΑΡΟΣ, Αθήνα 1985 (Από την ενότητα ΜΥΡΙΣΑΙ ΤΟ ΑΡΙΣΤΟΝ).

Ο τύπος που υπολογίζει οποιοδήποτε ψηφίο του π (και που, για αιώνες, κανένας δεν τον είχε παρατηρήσει!)

 

Οι παραπάνω είναι λίγοι μόνο τρόποι να γράψουμε "κομψά" τον αριθμό \( \pi\), ο οποίος έχει σήμερα την τιμητική του. (Ok, μάλλον εκτός από τον τελευταίο...!)

Έχουμε δει εδώ τις προσπάθειες των επιστημόνων να βρουν όσο περισσότερα δεκαδικά ψηφία του \( \pi\) είναι εφικτό και να σπάνε διαρκώς τα παγκόσμια ρεκόρ.

Έχουμε, ακόμη, δει εδώ ότι οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία φυσικών αριθμών μπορούμε να σκεφτούμε, εντοπίζεται κάπου μέσα στα δεκαδικά ψηφία του \( \pi\). Ωστόσο, ποτέ δεν μπορούμε να "προβλέψουμε" ποιο θα είναι το επόμενο δεκαδικό ψηφίο του \( \pi\).

Κι όμως, πλέον υπάρχει τρόπος να μάθουμε το n-οστό (νιοστό) δεκαδικό ψηφίο του \( \pi\), για όποιον φυσικό αριθμό n θελήσουμε...

"Ο τύπος όχι μόνο ισχύει, αλλά είναι απλός και κομψός", λέει ο Simon Plouffe, o μαθηματικός ο οποίος ανέβασε ήσυχα-ήσυχα τον τύπο του πέρσι στο ArXiv. Χρησιμοποιώντας γνωστούς ασυμπτωτικούς τύπους που εμπλέκουν το \( \pi\) με τους αριθμούς Bernoulli και τους αριθμούς Euler και λύνοντας ως προς \( \pi\), καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του νιοστού ψηφίου του \( \pi\) και του \( \pi^n\).

Σύμφωνα με τον Plouffe, ο νέος αυτός τύπος βασίζεται σε αποτελέσματα που ήταν γνωστά για αιώνες. Στην εργασία του δεν περιέχονται αποδείξεις ή μακροσκελείς υπολογισμοί. Τα αποτελέσματα του Plouffe βασίζονται στην ικανότητα να κοιτάξουμε σε κάτι παλιό, με έναν νέο τρόπο! Βέβαια, ο τύπος βασίζεται σε προσεγγίσεις για τον υπολογισμό των αριθμών Bernoulli και Euler: Και οι δύο είναι ακολουθίες αριθμών, που είναι ταχέως αύξουσες (Rapidly Increasing Sequences) και χρονοβόρο να υπολογιστούν, ακόμη και με σύγχρονους ηλεκτρονικούς υπολογιστές...  

Γρίφος: Πρωτάθλημα σκακιού

Δύο μαθητές δημοτικού, εξαιρετικά ταλαντούχοι στο σκάκι, έλαβαν μέρος σε ένα πρωτάθλημα που διοργανώθηκε στο πανεπιστήμιο της πόλης τους και ανταγωνίστηκαν με τους φοιτητές. Κάθε παίκτης που συμμετείχε στο πρωτάθλημα έπαιξε με όλους τους άλλους μία μόνο παρτίδα. Με κάθε νίκη κέρδιζε ένα βαθμό, με κάθε ισοπαλία μισό, ενώ στην περίπτωση ήττας ο παίκτης δεν έπαιρνε βαθμούς. Όλοι οι φοιτητές είχαν στο τέλος την ίδια βαθμολογία, ενώ οι δύο μαθητές μαζί συγκέντρωσαν συνολικά 6,5 βαθμούς.

Πόσοι φοιτητές συμμετείχαν στο πρωτάθλημα σκακιού; 

"Οι άγριοι αριθμοί"

 

Τι είναι τα Μαθηματικά για τους παθιασμένους μαθηματικούς που αφιερώνουν τον εαυτό τους στην έρευνα; Τι συμβαίνει όταν το "Πρόβλημα των Άγριων Αριθμών" που ταλαιπώρησε για αιώνες τους μαθηματικούς βρίσκει ξαφνικά τη λύση του από δυο ανθρώπους στην ίδια πόλη;

Στιγμή θριάμβου για τον κεντρικό ήρωα ή κλοπή της ιδέας του άλλου; Κι έχει όντως λυθεί το πρόβλημα; Ή η προσπάθεια επίλυσής του αποτελεί την ελπίδα και των δύο για να μην περάσουν την ιδιαιτέρως λεπτή διαχωριστική γραμμή μεταξύ ιδιοφυΐας και παραφροσύνης;

Χρησιμοποιώντας τη φόρμα του πανεπιστημιακού μυθιστορήματος -με ήρωες αυτή τη φορά μαθηματικούς και όχι θεωρητικούς λογοτεχνίας- ο Φίλιμπερτ Σογκτ μας εισάγει στον τρόπο σκέψης και δουλειάς όσων ασχολούνται με τα Καθαρά Μαθηματικά. Η σκληρότητα και το πνεύμα ανταγωνισμού που κυριαρχούν στα πανεπιστήμια, η απομόνωση και η ιδιωτική πορεία που ακολουθούν οι ερευνητές στον δύσκολο δρόμο της γνώσης και της αυτογνωσίας αποδίδονται με χιούμορ και ανάλαφρη γραφή που αφήνει όμως να διαφανεί η έντονη κριτική του συγγραφέα «για τη θέση του μαθηματικού στη σύγχρονη κοινωνία των γιάπηδων, μια κοινωνία που όχι μόνο περιφρονεί και περιθωριοποιεί όσους δεν ασχολούνται με κάτι "χρήσιμο" και "αποδοτικό", αλλά και θεωρεί καθήκον τους να τους αναμορφώσει», όπως γράφει στον πρόλογο του βιβλίου ο Τεύκρος Μιχαηλίδης.

Γρίφος με σπίρτα!

 

Άλλαξε θέση σε δύο οποιαδήποτε σπίρτα, εκτός από το σύμβολο "=" (ίσον), ώστε η πράξη να είναι σωστή.

Πηγή: grifoi.gr

Μαθηματικό ροκ...

Το μαθηματικό ροκ (Math Rock) είναι ένα στυλ προοδευτικού και ανεξάρτητου ροκ, με βασικότερους εκπροσώπους συγκροτήματα όπως οι King Crimson, Rush και Battles, καθώς και συνθέτες του 20ου αιώνα, όπως οι Steve Reich και John Cage. Χαρακτηρίζεται από πολύπλοκες, άτυπες ρυθμικές δομές -συμπεριλαμβανομένης της ακανόνιστης διακοπής και εκκίνησης, συνεχείς αλλαγές στους χρονοδείκτες (κλάσματα στην αρχή του πενταγράμμου) και εκτεταμένες συγχορδίες. Έχει ομοιότητες με το post-rock.

Η ρυθμική του πολυπλοκότητα ήταν ο λόγος που ονομάστηκε «μαθηματικό» από ακροατές και μουσικούς. Ενώ η περισσότερη ροκ μουσική χρησιμοποιεί μέτρο 4/4, το μαθηματικό ροκ κάνει χρήση λιγότερο τυπικών μέτρων, όπως 5/4, 7/8, 11/8 ή 13/8. Όπως στο παραδοσιακό ροκ, ο ήχος κυριαρχείται συχνά από κιθάρες και ντραμς. Ωστόσο, τα ντραμς παίζουν μεγαλύτερο ρόλο στο μαθηματικό ροκ για την παροχή πολύπλοκων ρυθμών.

 

H φωνή αντιμετωπίζεται ως ένα ακόμη μουσικό όργανο, ενώ συχνά τα φωνητικά δεν είναι υπερβολικά και τοποθετούνται λιγότερο εμφανώς, όπως στο στυλ ηχογράφησης του Steve Albini. Πολλά από τα πιο γνωστά math rock συγκροτήματα είναι εντελώς ορχηστρικά, όπως οι Don Caballero ή οι Hella.

Τα άλμπουμ “In the Court of the Crimson King” (1969), “Red” (1974) και “Discipline” (1981) των King Crimson και “Spiderland” (1991) των Slint θεωρούνται γενικά πρόδρομοι, ή και δημιουργοί του μαθηματικού ροκ, επιδεικνύοντας τεχνικές που θα υιοθετούσαν αργότερα κι άλλα συγκροτήματα. Καλλιτέχνες όπως οι Frank Zappa, Captain Beefheart και John Zorn επίσης επηρέασαν  σημαντικά πολλές math rock μπάντες. Ένα ακόμη πιο avant-garde συγκρότημα της δεκαετίας του '80, οι Massacre, με επιρροές από την πανκ, χρησιμοποίησε περίπλοκα ρυθμικά χαρακτηριστικά. Ο Scott Miller, τραγουδιστής των Game Theory και The Loud Family, λεγόταν ότι «πειραματιζόταν με τη μουσική όπως ένας γεννημένος μαθηματικός πειραματίζεται με τους αριθμούς». Ακόμη και η προέλευση του ονόματος Game Theory είναι μαθηματική, υποδηλώνοντας έναν «σχεδόν μαθηματικό ήχο» του συγκροτήματος, που συχνά το ανέφεραν και ως IQ rock. Μια άλλη επιρροή αποτελεί ο Καναδός μουσικός Dan Snaith, ο οποίος έχει αποκτήσει διδακτορικό στα μαθηματικά από το Imperial College London.

Φτάνοντας στη δεκαετία του '90 και συνεχίζοντας μέχρι και σήμερα, ο μουσικός κόσμος υποδέχεται τους Tool, που χαρακτηρίστηκαν ως «διάδοχοι των King Crimson ως οι βασιλιάδες του progressive rock». Χαρακτηριστικό το τραγούδι τους "Lateralus", στο οποίο μέσα στο tempo των ντραμς και στους στίχους «κρύβεται» η ακολουθία Fibonacci, που συνδέεται με τη χρυσή τομή. 

Η ακολουθία Fibonacci είναι η ακολουθία αριθμών 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... στην οποία οι δύο πρώτοι όροι είναι το 1 και, από τον τρίτο όρο και μετά, κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Στο "Lateralus", το πλήθος των συλλαβών σε κάθε στίχο «κινείται» μέσα στην ακολουθία Fibonacci. Για παράδειγμα οι στίχοι της πρώτης στροφής έχουν διαδοχικά: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3 συλλαβές.

Ο όρος «μαθηματικό ροκ» ξεκίνησε ως αστείο στη σκηνή του Σικάγο από τους καλλιτέχνες που δούλευαν με τον Steve Albini, προσπαθώντας να περιγράψουν το νέο στυλ. Υποστηρικτής αυτού του όρου είναι και ο Matt Sweeney, τραγουδιστής των Chavez, μπάντα που συνδέεται με τη math rock σκηνή. Αν και έχει εξελιχθεί σε αποδεκτό όνομα για το μουσικό στυλ, παρόλα αυτά, δεν βλέπουν όλοι οι κριτικοί το μαθηματικό ροκ ως ένα επίσημο υπο-είδος του ροκ...

"Ο Γιάννης που αγάπησα"... Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των Μαθηματικών

Το βιβλίο της Κατερίνας Καλφοπούλου

Το τελευταίο κουδούνι της μέρας έχει χτυπήσει. Μόνη, μπροστά στον γεμάτο πίνακα, μέσα στην άδεια τάξη ανακεφαλαιώνει, αξιολογεί, στοχάζεται. Τι έκανα καλά, τι δεν μου βγήκε; Διερεύνηση παραμετρικής εξίσωσης σήμερα. Σίγουρα τους δυσκόλεψε. Κάποιοι δεν θα κατάλαβαν Χριστό. Μάλλον θα πρέπει να επανέλθω. Ο Γιάννης έδειχνε κουλ. Αυτός ίσως το 'πιασε. Αύριο θα τον βάλω να λύσει την άσκηση στον πίνακα. Για να δούμε...

Μαζεύει τα πράγματά της και παίρνει τον δρόμο για την κατοικία της, την κατοικία που συχνά για τη δασκάλα -για τον δάσκαλο του δημόσιου σχολείου- δεν είναι το Σπίτι της. Παρόμοιες σκέψεις την ακολουθούν στο δρόμο, στην ουρά του σουπερμάρκετ, στο ασανσέρ. Η Μαρία είχε σήμερα τα νεύρα της -δεν ήταν, λέει, το πρόβλημα αρκετά σαφές- πού να καταλάβει το καημένο ότι αυτός ήταν ο στόχος: δίνεις ένα πρόβλημα ασαφές, τροφή για σκέψη και γίνεται... επανάσταση, αφού "όλα τα προβλήματα οφείλουν να έχουν μοναδική λύση, η οποία να επιτυγχάνεται με τρόπο ανάλογο αυτού που παραθέτει το λυμένο παράδειγμα-εφαρμογή του βιβλίου". Αυτό! Αυτό ποιος θα το ξεκολλήσει από τη σκέψη των παιδιών, των γονιών τους, αλίμονο και πολλών από τους δασκάλους τους;  

Απόγευμα ή βραδάκι, με το κομπιούτερ, τα βιβλία και τα τετράδια ανοικτά -είναι η ώρα να σχεδιαστούν τα πλάνα για τα μαθήματα της επομένης. Γιατί, όπως μάλλον αγνοούν όσοι είναι έξω από τον χορό, η δουλειά του δασκάλου δεν τελειώνει σαν χτυπήσει το κουδούνι...

Το βιβλίο αυτό είναι γεμάτο από ιστορίες ανατροπής. Η τάξη είναι ένα σώμα ζωντανό, μεταβλητό, συχνά κυκλοθυμικό, καμιά φορά απρόβλεπτο. Η τέχνη του δασκάλου είναι να μπορεί να προσαρμόζεται σ' αυτή την ποικιλία των καταστάσεων, να μπορεί να παρεκκλίνει αν χρειαστεί από την πορεία του, χωρίς ποτέ να φεύγει από τον στόχο του. Γι' αυτό ετούτο το βιβλίο είναι πολύτιμο. Γιατί μας δείχνει με ζωντάνια και γλαφυρότητα πώς ένας δάσκαλος καταφέρνει να μετατρέψει τα αναμασημένα, ανακυκλωμένα αλλά παρόλα αυτά αραχνιασμένα αναλυτικά προγράμματα, τα αρτηριοσκληρωτικά και κακογραμμένα, γεμάτα λάθη, με παντελή έλλειψη φαντασίας σχολικά εγχειρίδια, σ' έναν ποταμό φρεσκάδας, στοχασμού και δημιουργίας...

(από τον Πρόλογο του βιβλίου)

Σελίδα από το βιβλίο... διαβάζοντας σε μια κενή διδακτική ώρα.

Με την ανάγνωση του βιβλίου, μού έρχονται στο μυαλό διάφορα από τα δικά μου πεπραγμένα ενώ ταυτίστηκα σε πολλά σημεία με τη συγγραφέα, Κατερίνα Καλφοπούλου. Το προτείνω σε όσους δεν το έχουν ακόμη διαβάσει. Αν το έχετε διαβάσει, γράψτε μας στα σχόλια την εμπειρία σας! 

Εφαρμογή για κινητά που υπολογίζει ΜΚΔ και ΕΚΠ

Σε πολλές περιπτώσεις κατά την εκπαιδευτική διαδικασία, όχι μόνο ενδείκνυται, αλλά και ενθαρρύνεται η χρήση αριθμομηχανών και μαθηματικών εφαρμογών για κινητά. Ο υπολογιστής τσέπης αλλά και κάθε μέσο νέας τεχνολογίας θα πρέπει να παρουσιάζεται στον μαθητή ως γνωστικό αντικείμενο που θα τον προετοιμάζει για την εκπαιδευτική και επαγγελματική του επιβίωση και ανάπτυξη. Θα πρέπει, αναμφίβολα, τα μέσα αυτά να χρησιμοποιούνται με τον σωστό τρόπο, ώστε να επιτυγχάνεται η μάθηση. Αυτός είναι και ο στόχος του λεγόμενου m-learning (mobile learning). 

Μια ενδιαφέρουσα εκπαιδευτική εφαρμογή στο παραπάνω πλαίσιο είναι η "GCD-LCM" (Μ.Κ.Δ. - Ε.Κ.Π.). Βρίσκει τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ., GCD) και το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π., LCM) δύο, τριών ή τεσσάρων αριθμών. 

Είναι διαθέσιμη δωρεάν στο Playstore για κινητά Android. 

Πώς να (μην) φλερτάρεις έναν μαθηματικό!

Μέρα που είναι σήμερα, αποκαλύπτουμε... δοκιμασμένες ατάκες με τις οποίες μπορείτε να "ρίξετε" έναν μαθηματικό, αλλά και πώς φλερτάρουν στην πραγματικότητα οι μαθηματικοί, οι οποίοι, σύμφωνα με έρευνες, είναι λιγάκι nerdy.

- Πώς γίνεται να ξέρω τόσα ψηφία του π και όχι τα 10 ψηφία του δικού σου αριθμού;

- Μπορώ να υπολογίσω την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε φυσικού αριθμού σε λιγότερο από 5 δευτερόλεπτα. Τι;! Δεν με πιστεύεις; Οκ... Πες μου τον αριθμό σου και θα βρω την τετραγωνική του ρίζα αμέσως...

- Μήπως είσαι η τετραγωνική ρίζα του -1? Γιατί αποκλείεται να είσαι πραγματική!

- Σου αρέσουν τα Μαθηματικά, σωστά; Λοιπόν, μπορείς να βρεις πόσο κάνει "εσύ + εγώ" ;

- Σε γουστάρω περισσότερο κι από το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού.

- Οι καμπύλες σου είναι πιο όμορφες και από γραφική παράσταση ημιτονοειδούς συνάρτησης.

- Χωρίς εσένα, η ζωή μου είναι ισοδύναμη με το κενό σύνολο... γιατί είναι άδεια!

- Έμαθα ότι δεν σου αρέσουν τα κλάσματα... Γι' αυτό θέλεις να γίνεις το άλλο μου μισό;

~*~ Συμπληρώστε στα σχόλια τις ατάκες που ξέρετε εσείς!

ΥΓ. Φιλική προειδοποίηση: Η ανάρτηση έχει καθαρά χιουμοριστικό χαρακτήρα. Ορισμένα από τα παραπάνω μην τα δοκιμάσετε καν!😂